第2讲 三角形一边的平行线（一） -【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第2讲 三角形一边的平行线（一） 【学习目标】 三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“ ”字型和“ ”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础． 【基础知识】 一、三角形一边的平行线性质定理 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知 ，直线 ，且与 、 所在直线交于点 和点 ，那么 ． 三角形一边的平行线性质定理推论 1、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点 、 分别在 的边 、 上， ，那么 ． 2、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 【考点剖析】 考点一：三角形一边的平行线性质定理 例1．如图，在 中， ， ， ， ，求 ． 【难度】★ 【答案】4． 【解析】 ，代入可得： ． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理． 例2．阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下 米宽的亮区（如图）．已知亮区一边 到窗下的墙角距离 米，窗口 米，求窗口底边离地面的高 ． 【难度】★ 【答案】5.8m． 【解析】射入的光线平行，则有 ，代入可求得： ， ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到． 例3．在 中，点 、 分别在 、 的反向延长线上， ，若 ， 厘米，则 ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】由 ，可得 ，故 ，代入求得 ． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用． 例4．如图在 中， 平分 ， ， 厘米， ，求 的长． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】 ， ． 由 ，代入可求得： ． 又 ， ． 又 平分 ， ． ， ． 【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理． 例5．如图，已知在 中， ， ， ， ， ，求四边形 的周长． 【难度】★ 【答案】16． 【解析】 ， ． 又 ， ， ， 四边形 为平行四边形． 代入可求得： ， ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用． 例6．如图，在 中， ， 于点 ，点 是 中点，过点 作 的垂线交 于点 ， ，则 ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】由 ， ， 即得： ，可得： ． 又 ， ， // ， ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用． 例7．如图，已知 ， ， ， ， ，求 、 的长． 【难度】★★ 【答案】 ， ． 【解析】由 ， ． 代入可得： ． 同时根据比例的合比性，可得： ，即 ， 又根据平行，可得： ， ． 代入求得： ． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例． 例8．如图，已知 是边长为2的等边三角形， ， ，求 的长． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】∵ 和 为等高三角形， 故 ， 由 ， ， 为等边三角形， 可知 也为等边三角形， ∴ ， ∴ ． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形． 例9．如图， 为 对角线 上任意一点．求证： ． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明： 四边形 为平行四边形， ， ． 根据三角形一边平行线的性质定理，则有 ， ． 【总结】初步认识相似三角形中的“ ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化． 例10．如图，在平行四边形 中， 的延长线上有一点 ， 交 于点 ，交 于点 ．求证： ． 【难度】★★ 【解析】证明： 四边形 为平行四边形， ， ． 根据三角形一边平行线的性质定理， 则有： ， ． 【总结】初步认识相似三角形中的“ ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化． 例11．如图，点 在线段 上， 和 都是等边三角形． 求证：（1） ； （2） ． 【难度】★★ 【解析】证明：（1） 和 是等边三角形， ． ∵点 在线段 上， ． ， ． （2）同（1）易证得 ，则有 ． 和 是等边三角形， ， ，