6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年　课程探究与巩固·数学·必修第二册 6．4 平面向量的应用 第六章　平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 * [课程目标] 1.了解常用的测量的相关术语的含义；2.能够运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度等实际问题． 知识点 实际测量中的有关名称、术语 上 下 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线______方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线______方时与水平线的夹角 目标方向线 顺 名称 定义 图示 方向角 从指定方向线到______________的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 方位角 从正北的方向线按______时针到目标方向线所转过的水平角 　　　　　　判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)利用正弦定理和余弦定理可以解决距离、高度和角度问题． (　 　) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．(　 　) (3)方位角和方向角是一样的．(　 　) √ × × 如图，某人在塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高． 解：在△BCD中，CD＝40米，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°， 由正弦定理得＝， 所以BD＝＝20(米). 在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°， 所以BE＝BD·sin 15°＝20×sin 15° ＝20×＝10(－1)(米). 在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，所以AB＝BE·tan 30°＝(3－)米． 所以塔高为(3－)米． [规律方法] (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角． (2)要根据题意正确画出图形，同时空间图形和平面图形要区分开，以免影响解答． 活学活用 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　 　) D A．5　　　　　　　 B．15 C．5 D．15 【解析】 在△BCD中， ∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝， 所以BC＝15. 在Rt△ABC中， AB＝BC tan ∠ACB＝15×＝15. 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点) 解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°， 所以AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝ ，解得AD＝ km，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋2×CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km(负值舍去)，BC＝BD＋CD＝ km， 2个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5 km. 而<＝＝2.5， 所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰． [规律方法] (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 活学活用 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿方位角为105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为______小时． 【解析】 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°. 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°， 整理，得36x2－9x－10＝0， 解得x＝－(舍去)或x＝. 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时. 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，某海军舰艇在A处