6.4.3 第1课时 余弦定理-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年 课程探究与巩固 数学 必修 二 6．4 平面向量的应用 6．4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 第六章 平面向量及其应用 * [课程目标] 1.会用向量方法证明余弦定理；2.会利用余弦定理证明简单的三角形问题，求解简单斜三角形的边角问题． a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C 其他两边平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍 [研读]余弦定理的特点： (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)余弦定理在直角三角形中就是勾股定理．( ) (2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( ) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．( ) √ √ × 【解析】 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况． (2)当a2>b2＋c2时，cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) <0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形． (3)当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一， 因此△ABC唯一确定． 例1 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 则a＝_______cm； (2)在△ABC中，若AB＝ AC＝5，且cos C＝ 则BC＝___________． 60 4或5 eq \r(3) cm，A＝ eq \f(π,6) ， eq \r(5) ， eq \f(9,10) ， 【解析】 (1)由余弦定理得： a＝ eq \r(602＋（60\r(3)）2－2×60×60\r(3)cos \f(π,6)) ＝ eq \r(4×602－3×602) ＝60(cm). (2)由余弦定理得：( eq \r(5) )2＝52＋BC2－2×5×BC× eq \f(9,10) ， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5. [规律方法] 已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 利用余弦定理求出第三边，再利用余弦定理的推论求出其余角． 在△ABC中，a＝2 eq \r(3) ，c＝ eq \r(6) ＋ eq \r(2) ，B＝45°，解这个三角形． 解：根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(2 eq \r(3) )2＋( eq \r(6) ＋ eq \r(2) )2－2×2 eq \r(3) × ( eq \r(6) ＋ eq \r(2) )×cos 45°＝8，所以b＝2 eq \r(2) . 又因为cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(8＋（\r(6)＋\r(2)）2－（2\r(3)）2,2×2\r(2)×（\r(6)＋\r(2)）) ＝ eq \f(1,2) ， 所以A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 例2 在△ABC中，a＝2 eq \r(6) ，b＝6＋2 eq \r(3) ，c＝4 eq \r(3) ，求角A，B，C. 解：由余弦定理的推论，得 cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(（6＋2\r(3)）2＋（4\r(3)）2－（2\r(6)）2,2×（6＋2\r(3)）×4\r(3)) ＝ eq \f(36＋24\r(3)＋12＋48－24,48\r(3)＋48) ＝ eq \f(72＋24\r(3),48\r(3)＋48) ＝ eq \f(3＋\r(3),2\r(3)＋2) ＝ eq \f(\r(3),2) . 因为A∈(0°，180°)，所以A＝30°. cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(（2\r(6)）2＋（6＋2\r(3)）2－（4\r(3)）2,2×2\r(6)×（6＋2\r(3)）) ＝ eq \f(24＋36＋24\r(3)＋12－48,24\r(6)＋24\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) . 因为C∈(0°，180°)，所以C＝45°. 因为A＋B＋C＝180°，所以B＝180°－45°－30°＝105°. [规律方法] (1)已知三边求角的基本思路：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接