6.4.1-6.4.2 平面向量的应用-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年课程探究与巩固·数学·必修第二册 6. 4.2 向量在物理中的应用举例 第六章 平面向量及其应用 6．4 平面向量的应用 6．4.1 平面几何中的向量方法 * [课程目标] 1.通过向量知识在实际问题中的应用，提高分析问题、解决问题的能力；2.学会如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型解决实际问题． 1．用向量方法解决平面几何问题 (1)建立平面几何与向量的联系，用________表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为____________； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角 等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 向量 向量问题 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等； (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中； (3)动量mv是向量的数乘运算； (4)功是力F与位移s的数量积． [研读]用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向： (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)可以利用向量方法解决直线的平行或垂直问题．( ) (2)利用向量的数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．( ) (3)用向量解决物理问题的实质是将物理问题转化为数学问题，再用向量方法解决．( ) √ √ √ 例1如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明： 方法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝ eq \r(2) a， 所以 eq \o(DP,\s\up6(→)) · eq \o(EF,\s\up6(→)) ＝( eq \o(DA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AP,\s\up6(→)) )·( eq \o(EP,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PF,\s\up6(→)) ) ＝ eq \o(DA,\s\up6(→)) · eq \o(EP,\s\up6(→)) ＋ eq \o(DA,\s\up6(→)) · eq \o(PF,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AP,\s\up6(→)) · eq \o(EP,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AP,\s\up6(→)) · eq \o(PF,\s\up6(→)) ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋ eq \r(2) a×a×cos 45°＋ eq \r(2) a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. 所以 eq \o(DP,\s\up6(→)) ⊥ eq \o(EF,\s\up6(→)) ，即DP⊥EF. 方法二：设正方形ABCD的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，x)， 则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)， 所以 eq \o(DP,\s\up6(→)) ＝(x，x－1)， eq \o(EF,\s\up6(→)) ＝(1－x，x)， 由于 eq \o(DP,\s\up6(→)) · eq \o(EF,\s\up6(→)) ＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以 eq \o(DP,\s\up6(→)) ⊥ eq \o(EF,\s\up6(→)) ，即DP⊥EF. [规律方法] 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式． 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE (利用向量证明). 解：设 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝b， 则 eq \o(AF,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b， eq \o(ED,\s\up6(→)) ＝b－ eq \f(1,2) a， 所以 eq \o(AF,\s\up6(→)) · eq \o(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a