第十一讲 充分必要条件-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十一讲：充分必要条件 【学习目标】 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题. 3.能对充要条件进行证明． 【基础知识】 知识点：充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【考点剖析】 考点一：充要条件的判断 例1．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 当时，得；当时，得，所以“”是“”的充要条件， 故选：C． 变式训练1：命题 ，命题（其中），那么是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 若，则，所以命题可以得出命题成立， 若则，即，所以所以命题可以得出命题成立， 所以是的充要条件， 故选：C 变式训练2：设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】 由可得， 解得， 又命题甲为：， 所以甲是乙的充要条件， 故选：C. 变式训练3：“”是“一元二次方程无实数根”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 若一元二次方程无实数根，则，解得； 反之若，则，则一元二次方程无实数根. 所以“”是“一元二次方程无实数根”的充要条件. 故选：B 考点二：充要条件的证明 例2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】 证明（充分性） ∵，∴ ∴ （必要性） ∵，∴ ∴ 即，∴，得证． 变式训练1：设，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】 充分性：若，∵，∴，即； 必要性：若，∵，∴，即. 所以的充要条件是. 变式训练2：求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分. 【答案】证明见解析 【详解】 设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，，，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，，，所以所以，四边形的对角线与互相平分； 所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分. 变式训练3：已知一元二次方程. （1）若是方程的两个根，求的值； （2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”. 【答案】（1）0；（2）证明见解析. 【详解】 （1）由题得，所以； （2）先证明充分性： 当时，或， 所以是方程的一个根， 所以充分性成立； 再证明必要性： 当是方程的一个根时， . 所以必要性成立. 所以“是方程的一个根”的充要条件是“”. 考点三：充要条件的应用（一） 例3．方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】 若方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素， 当时，，符合题意； 当时，由方程有实根，得到，解得； 若，则方程有且仅有一个实根，符合题意； 若且，方程有两个不等实根，设这两个实根分别为，，若方程的解集中有且最多有一个负实数元素，则，即； 当或时，关于的方程的解集中有且最多有一个负实数元素； 综上方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为或. 故选：A. 变式训练1：三个数不全为零的充要条件是（ ） A．都不是零 B．中至多一个是零 C．中只有一个为零 D．中至少一个不是零 【答案】D 【详解】 主要考查充要条件的概念及其判定方法．三个数不全为零的充要条件是中至少一个不是零．选D. 变式训练2：二次函数的值恒为正值的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：二次函数的值恒为正值，则函数的图象开口向上，且与轴没有交点，即. 故选：C. 变式训练3：函数的图象关于直线对称的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 当m=-2时，f(x)=x2-2x+1，其图象关于直线x=1对称，反之，若函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则，即. 所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2. 故选：A. 考点三：充要条件的应用（二） 例3．已知，. （I）是否存在，使得是的充要条件？若存在，求的值，若不存在，请说明理由： （II）从下面三个条件中任选一个，求的取值范围. ①是的必要条件；②是的充分条件； 【答案】（