【优化指导】高一数学精品导学案（预习+探究+达标训练）：湘教版必修4第9章92等差数列（4份）

第4课时　等差数列前n项和公式的应用 学习目标 重点难点 1．记住等差数列前n项和的性质，并能用这些性质解决问题； 2．知道an与Sn的关系并能熟记，能用这个关系解决有关问题； 3．会利用等差数列的知识解决等差数列的一些实际应用问题. 重点：等差数列的前n项和的性质，an与Sn的关系公式及其应用； 难点：an与Sn的关系公式及其应用，等差数列的实际应用； 疑点：an与Sn的关系及应用. 1．等差数列前n项和的性质 (1)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也构成等差数列． (2)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，那么S2n－1＝(2n－1)an. 预习交流1 若Sn是等差数列{an}的前n项和，那么是否是等差数列？ 2．数列中an与Sn的关系 已知数列{an}的通项公式an，前n项和Sn，则Sn与an有如下关系： an＝ 预习交流2 等式an＝Sn－Sn－1成立的条件是什么？ 预习交流3 怎样由数列的前n项和公式Sn求出其通项公式an? 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 答案： 预习交流1： 提示：是，这是因为Sn＝na1＋的等差数列． 是公差为，故n＋d＝＝a1＋d，所以 预习交流2： 提示：条件是n≥2，因为当n＝1时，Sn－1无意义． 预习交流3： 提示：先由Sn－Sn－1求出an(n≥2)，再根据a1＝S1求出a1的值，若当n＝1时，a1＝S1也满足“an式”，则数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1来表示；若当n＝1时，a1＝S1不满足“an式”，则数列的通项公式应用分段函数来表示．[来源:Z_xx_k.Com] 一、等差数列前n项和的性质 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　)． A．63 B．45 C．36 D．27 思路分析：由S3＝9，S6＝36可求出第一个3项之和以及第二个3项之和，然后利用等差数列前n项和的性质可求出第三个3项之和，即a7＋a8＋a9的值． 若Sn表示等差数列{an}的前n项和，已知＝(　　)． ，那么＝ A． B． C． D． 1．这类问题采用等差数列前n项和的性质进行求解，显得简捷、迅速，当然，也可利用基本量方法进行求解，但过程将复杂，运算量加大． 2．注意是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，而不是Sn，S2n，S3n构成等差数列． 二、an与Sn的关系及其应用 已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an}是否为等差数列？ 思路分析：利用an与Sn的关系求出通项公式后再进行判断． 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝(　　)． A．9 B．8 C．7 D．6 已知数列的前n项和公式Sn，求an时应分三步：第一步：利用a1＝S1求a1；第二步：当n≥2时，求an＝Sn－Sn－1；第三步：检验a1是否适合n≥2时得到的an，若适合，则将an用一个公式表示，若不适合，将an用一个分段函数表示． 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4，求证：{an}为等差数列，并求出其通项公式． 思路分析：在等式2Sn＝a＋n－5，两式相减，然后利用an与Sn的关系可消去Sn，得到an与an－1的关系，从而可判断数列是否是等差数列，再根据a1＝S1可求出a1的值，即得通项公式． ＋n－4中令n取n－1，可得另一个等式2Sn－1＝a 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足8Sn＝(an＋2)2，求数列{an}的通项公式． 1．证明一个数列{an}是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)，二是利用等差中项法，即证明：an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法． 2．已知an与Sn的关系公式，求an时可根据已给出的关系公式，令n＝n＋1或n＝n－1，再写出一个公式，然后将两式相减，消去Sn，得到an与an＋1或an与an－1的关系，从而确定数列{an}是等差数列或其他数列，然后求出其通项公式． 三、等差数列的综合应用 [来源:学&科&网Z&X&X&K] 一支军队有15辆军车，某一天依次执行任务．第一辆于下午2时出发，第二辆于下午2时10分出发，第三辆于下午2时20分出发，以此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6