第1讲 相似形与比例线段-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第1讲 相似形与比例线段 【学习目标】 放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础． 比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习． 【基础知识】 一、相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 二、比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量 与 相除，叫做 与 的比，记作 （或表示为 ）； 如果 （或 ），那么就说 、 、 、 成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ， ， ． （2）合比性质： 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ． （3）等比性质： 如果 ，那么 ． 三、比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段 、 、 、 ，如果 （或表示为 ），那么 、 、 、 叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点 把线段 分割成 和 （ ）两段（如下图），其中 是 和 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点 称为线段 的黄金分割点．其中， ，称为黄金分割数，简称黄金数． 【考点剖析】 考点一：相似形的概念及性质 例1．相似的图形，它们的形状 相同，它们的大小 相同． （选填“一定”或“不一定”或“一定不”） 【难度】★ 【答案】一定，不一定． 【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论． 【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形． 例2．下列给出的图形中，不是相似形的是（ ） （A）由同一张底片印出来大小不同的照片 （B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 （C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 （D）五星红旗上的大五角星和小五角星 【难度】★ 【答案】C 【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形． 【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同． 例3．下列说法不一定正确的是（ ） （A）所有的等边三角形都相似 （B）有一个角是 的等腰三角形都相似 （C）所有等腰直角三角形都相似 （D）所有的直角三角形都相似 【难度】★★ 【答案】D 【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同． 【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似． 例4．下列各组中的两个图形一定相似的有（ ） （1）两个等腰三角形； （2）两个直角三角形； （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形； （5）两个矩形； （6）两个菱形； （7）两个正方形； （8）两个等腰梯形； （9）两个圆． （A）3组 （B）4组 （C）5组 （D）6组 【难度】★★ 【答案】B 【解析】相似的是（3）（4）（7）（9） 【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应． 例5．已知四边形 和四边形 是相似的图形，并且点 与点 、点 与 点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点，已知 ， ， ， ， ， ， ，求 ， 的长和 的 度数． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例． 有 ，将 代入，求得： ， 根据四边形内角和，可求得： ，相似图形对应角相等可知 ． 【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系． 例6．如图， 和 是相似形，顶点 、 、 分别与点 、 、 对应，已知 ， ， ， ， ， ．求 、 的长和 的度数． 【难度】★★ 【答案】 ， ． 【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例． 有 ，将 代入，可求得 ，根据三角形内角和为180°，可求得： ， 根据相似图形对应角相等可知 ． 【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系． 例7．已知 的三边长分别是 、 、 ，与其相似的 的最大边长是 ，求 的最小边长． 【难度】★★ 【答案】最小边长为9． 【解析】 ． 【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最