第7讲 双曲线-2021-2022学年高二数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

考点一：双曲线抛物线定义及标准方程 双曲线的定义： 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 依定义，设是双曲线上一点，则有且 双曲线的标准方程： ①，焦点坐标为，，； ②，焦点坐标为，，； 题型一：双曲线定义判断轨迹 1．已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．如图，正方体中，为边的中点，点在底面和侧面上运动并且使，那么点的轨迹是 A．两段圆弧 B．两段椭圆弧 C．两段双曲线弧 D．两段抛物线弧 3．设是平面内的一条定直线，是平面外的一个定点，动直线经过点且与成角，则直线与平面的交点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型二：双曲线标准方程 1．直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆的方程为，则 A． B．3 C． D． 2．若双曲线上存在点，使得到两个焦点的距离之比为，则称此双曲线存在“点”，下列双曲线中存在“点”的是 A． B． C． D． 考点二：双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 范围：或；如图． 对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． 顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． 实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，，为顶点，线段为双曲线的实轴．在轴上作点，，线段叫做双曲线的虚轴． 渐近线：直线； 离心率：叫做双曲线的离心率，．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔． 题型三：双曲线简单几何性质 1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为 A． B． C． D． 2．双曲线，，分别为曲线的左、右顶点，，分别为曲线的左、右焦点，为坐标平面内一点，若，则 A．5 B．7 C．9 D．11 3．已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则 A． B．1 C．2 D．4 课后综合巩固练习 1．已知，，，则动点的轨迹是 A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支 2．设双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 3．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为 A． B．4 C．2 D． 4．设常数，动点，分别与两个定点，的连线的斜率之积为定值，若动点的轨迹是渐近线斜率为2的双曲线，则 A． B．4 C． D．3 5．设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则△的面积是 ． 6．已知双曲线的离心率为2，右顶点为． （1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，，且，求的值． 7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍， （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，△的面积为，求此双曲线的方程． $ 目录 考点一：双曲线抛物线定义及标准方程 2 题型一：双曲线定义判断轨迹 2 题型二：双曲线标准方程 5 考点二：双曲线的几何性质 7 题型三：双曲线简单几何性质 8 课后综合巩固练习 10 考点一：双曲线抛物线定义及标准方程 双曲线的定义： 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 依定义，设是双曲线上一点，则有且 双曲线的标准方程： ①，焦点坐标为，，； ②，焦点坐标为，，； 题型一：双曲线定义判断轨迹 1．已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【分析】由是圆上任意一点，可得，且为的中点可求，结合已知由垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义可得点得轨迹是以，为焦点的双曲线 【解答】解：连接，由题意可得，且为的中点 点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点 由垂直平分线的性质可得 由双曲线的定义可得点得轨迹是以，为焦点的双曲线 故选：． 【点评】本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题，解决本题的关键是由为圆上一点可得，结合为的中点，由三角形中位线的性质可得，还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点，从而根据圆锥曲线的定义可求解，体现了转化思想的应用． 2．如图，正方体中，为边的中点，点在底面和侧面上运动并且使，那么点的轨迹是 A．两段圆弧 B．两段椭圆弧 C．两段双曲线弧 D．两段抛物线