第1讲 空间向量的运算和坐标表示-2021-2022学年高二数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量的运算和坐标表示 考点一：空间向量的运算 在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示． 用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 起点与终点重合的向量叫做零向量，记为（不是0）． 在手写向量时，在字母上方加上箭头，如，． 表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作，有向线段的方向表示向量的方向． 有向线段所在的直线叫做向量的基线． 4．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 平行于记为． 向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 空间向量的基本定理： 共线向量定理：对空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，使． 共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，，使． 空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在唯一一个有序实数组，，，使． 表达式，叫做向量，，的线性表示式或线性组合． 上述定理中，，，叫做空间的一个基底，记作，其中都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 四点共面定理：设点为空间任意一点，点是空间不共线的三点，又点满足等式： ，其中， 则四点共面的充要条件是． 四点共面定理的证明: 充分性即证：若，则四点共面， 必要性即证：若四点共面，则有． 先证充分性： ∵， ∴， ∴． 即，由共面向量定理知四点共面． 再证必要性： 设， 由条件， 得： ， ∴， 即， ∵四点共面，而点为空间任意一点， ∴只能，即． 综上知，命题成立． 两个向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．通常规定． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且． 如果，则称与互相垂直，记作． 两个向量的数量积： 已知空间两个向量，，定义它们的数量积（或内积）为： 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 题型一：空间向量及其线性运算 1．如图，是三棱锥的底面的重心，若、、，则的值为 A． B． C． D．1 题型二：空间向量基本定理的利用 1．下列关于空间向量的命题中，正确的有 ． ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； ②若非零向量，，满足，则有； ③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； ④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底． 2．已知，，为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底 （填“能”或“不能” ． 考点二：空间向量的直角坐标表示： 空间向量的直角坐标运算： 建立空间直角坐标系，分别沿轴，轴，轴的正方向引出单位向量，这三个互相 垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系，也常说成空间直角坐标系． 在空间直角坐标系中，已知任一向量，根据空间向量分解定理，存在唯一数组， ，其中分别叫做向量在方向上的分量或投影， 有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作． 若：，， 则：；； ；． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 题型三：坐标判断共线向量和共面向量 1. 已知 ，，若，，三个向量共面，则实数等于( ) A. B. C. D. 2．已知是平行六面体，设是底面中与的交点，是侧面对角线上的点，且，设，则、、的值分别为 ． 题型四：空间向量基本定理和坐标表示 1．如图三棱柱中，侧面是边长为2菱形，，交与点，侧面，且△为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为 A． B． C． D． 课后综合巩固练习 1．在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是 A． B． C． D． 2．如图：在平行六面体中，为，的交点．若，，，则向量 A． B． C． D． 3．下列命题正确的是 A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量共面就是它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若，则存在唯一的实数使得 4．若，，是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 5．在空间直角坐标系中，已知两点，1，与，，关于坐标平面对称，则 ． 6．已知点，关于点，2，的对称点分别为，，若，3，，，1，，求点的坐标． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发 日期：2019/7/30 16:00:10；用户：高中数学；邮箱：h2019@xy