期末测试卷-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册【创新思维】同步AB卷（人教B版）

(２)由(１)知PO⊥AC． 又∵平面PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC＝ AC,PO⊂平面PAC, ∴PO⊥平面ABC, ∴PO 是三棱锥PＧABC 的高,可得PO＝２ ３． ∵∠ABM＝α,０°≤α≤６０°． 在 △ABM 中,由 正 弦 定 理 得 BM ＝ AB 􀅰sin４５° sin(４５°＋α) ＝ ２sin(４５°＋α) , 同理,BN＝ ２sin(７５°＋α) , 故S△BMN ＝ １ ２ 􀅰BM􀅰BN􀅰sin∠MBN ＝ １sin(４５°＋α)sin(４５°＋α＋３０°) ＝ １ sin(４５°＋α) ３ ２sin (４５°＋α)＋１２cos (４５°＋α)[ ] ＝ １ ３ ４＋ ３ ４sin２α＋ １ ４cos２α ＝ １ ３ ４＋ １ ２sin (２α＋３０°) ． ∴三棱锥PＧMBN 的体积: V ＝ １３ × １ ３ ４＋ １ ２sin (２α＋３０°) × ２ ３ ＝ ２ ３３ × １ ３ ４＋ １ ２sin (２α＋３０°) ． ∵０°≤α≤６０°,３０°≤２α＋３０°≤１５０°, ∴当α＝３０°时,sin(２α＋３０°)的最大值为１, 此时三棱锥PＧMBN 的体积有最小值,且最小值为２ ３３ × １ ３ ４＋ １ ２ ＝１６ ３３ －８． ∴当α＝３０°时,三棱锥PＧMBN 的体积有最小值． ２１．解析:(１)证明:∵底面ABCD 为菱形,∴AC⊥BD． 又PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD． ∵PA∩AC＝A,∴BD⊥平面PAC． (２)由题意,PA⊥AD,PA⊥AB． ∵AD＝AB,PA＝PA,∴Rt△PAD≌Rt△PAB, 则PB＝PD． ∵∠BPD＝９０°,∴△BPD 为等腰直角三角形． ∴S△DBP＝ １ ２ 􀅰PB２＝２７４ ,解得PB＝３ ６２ , ∴DB＝ ２PB＝３ ３． 在△ABD 中,由 余 弦 定 理 可 得 BD２ ＝AD２ ＋AB２ － ２AD􀅰AB􀅰cos∠BAD, 解 得 AB ＝ AD ＝ ３,则 PA ＝ PB２－AB２ ＝ ３ ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －３２＝３ ２２ ． ∴菱形ABCD 的面积S＝２× １２AD×AB×sin∠BAD ＝３２× ３２＝ ９ ３ ２ ． ∴四棱锥 PＧABCD 的 体 积VPＧABCD ＝ １ ３ × ９ ３ ２ × ３ ２ ２ ＝９ ６４ ． ２２．解析:(１)∵FC∥EA,且AE⊥平面ABCD, ∴FC⊥平面ABCD,即FC为三棱锥FＧBCD 的高, AD⊥AB,AB∥CD,∴AD⊥CD, S△DBC＝ １ ２×DC×AD＝ １ ２×４×２＝４ , ∴VFＧBCD ＝ １ ３×S△DBC×FC＝ １ ３×４×４＝ １６ ３． (２)证明:由(１)知FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥FC． 取DC的中点M,由已知可得AB∥DM,AB＝DM＝２, ∴四边形ABMD 为平行四边形, 则BM∥AD,BM＝AD＝２,∴BM⊥MC,∴BC＝２ ２, ∵BD２＋BC２＝CD２,∴BD⊥BC． ∵FC∩BC＝C,∴BD⊥平面BCF, ∵BD⊂平面BDF,∴平面BDF⊥平面BCF． 期末测试卷 １．D　因为l∥α,所以直线l与平面α 无公共点,又a⊂α, 所以l与a 没有公共点． ２．C　A．α内有无穷多条直线都与β平行,则α还可能和β 相交,所以该选项错误; B．α与β同时平行于同一条直线,则α还可能和β 相交, 所以该选项错误; C．α与β同时垂直于同一条直线,则α和β 平行,所以该 选项正确; D．α与β同时垂直于同一个平面,则α还可能和β 相交, 所以该选项错误． ３．D　A 选项不正确,两个平面中的两条直线平行,两平面 平行或者两平面相交;B选项不正确,两垂直平面中的两 条直线可以平行、相交,异面;C选项不正确,一个直线与 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —７９— 一个平面内的直线平行,则直线与平面平行或直线在平 面内;D选项正确,根据线面垂直的性质定理可得,垂直 于同一平面的两条直线平行． ４．D　由题,根据正弦定理可得s