7.3 复数的三角表示-2020-2021学年高一数学下学期教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数 7.3复数的三角表示 学习导航 1、了解复数的三角表示式 2、掌握复数相等的充要条件 3、理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 教学过程 一、复数的三角表示式 记向量的模==r,由图7.3-1可以得到， 所以，=rcos=r（cos+sin）， 其中 r=， cos=， sin=. 这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示复数z. （1）一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为 r=（cos+icos）的形式 其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。 （2)规定：在0≤<2π范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作 argz,即0≤argz<2π. 3π 例如，,,=π,= 例题1 1.已知复数 满足： . （1）求 ； （2）若复数 ，且 是纯虚数，求 的值. 【答案】 （1）解：设 ， 则 ， . （2）解：由（1）得 由 是纯虚数得： ， . 【考点】复数的基本概念，复数求模 【分析】 （1）设z1=a+bi（a，b∈R），代入|z1|=1+i+z1 ， 整理后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则z1可求； （2）把（1）中求得的z1代入z2=a2-1+（a-1）z1（a∈R），整理后利用实部为0且虚部不为0求解a值． 二、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到， =（cos+isin）·（cos+isin） =（cos+isin）（cos+isin） =[(coscos-sinsin)] =[cos（+）+isin（+） 则 (cos+isin)·(cos+isin) =[cos(+)+isin(+)] 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 1、复数除法运算的三角表示 设=(cos+isin),=(cos,+isin),且 (cos+isin)·[c