第十章 复数 章末总结（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版必修第四册）

第十章 复数 章末总结 要点归纳 一、复数的概念 1．复数的概念： (1)虚数单位i：规定i2＝－1，规定实数可以与i进行四则运算，且保持加、乘运算的运算律. (2)形如a＋bi(a，b∈R)的数称为复数，其中a为实部，b为虚部． 2．复数的相等：两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，并且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0. 3．虚数单位i具有幂的周期性： i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.(n∈Z) 4．共轭复数 若两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． z的共轭复数用eq \x\to(z)表示，因此有：z＝a＋bi，eq \x\to(z)＝a－bi(a，b∈R)，互为共轭复数的对应点关于x轴对称． z＋eq \x\to(z)＝2a，z－eq \x\to(z)＝2bi，z·eq \x\to(z)＝|eq \x\to(z)|2＝|z|2，z＝eq \x\to(z)⇔z∈R. 5．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0； (2)z∈R⇔z＝eq \x\to(z)； (3)z∈R⇔z2≥0. 6．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0； (2)z是纯虚数⇔z＋eq \x\to(z)＝0(z≠0)； (3)z是纯虚数⇔z2＜0. 二、复数的运算 1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加、减法是对应实、虚部相加、减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1. 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 加法：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 除法：当c＋di≠0时， (a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(a＋bi,c＋di) ＝eq \f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di)) ＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i 2．在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时不总是成立的； (1