10.3 复数的三角形式及其运算（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版必修第四册）

10.3 复数的三角形式及其运算 知识点归纳 知识点一、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值 1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值的定义 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模，r＝|z|＝所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. ；θ是以x的非负半轴为始边，向量 根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝. ，sin θ＝ 因此a＝rcos θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcos θ)＋(rsin θ)i＝r(cos θ＋isin θ)， 上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角． 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z. 2．复数三角式的特征：有三个特征：(1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接. 3．辐角和辐角主值的区别与联系： 区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个. 联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 知识点二、复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 1．z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 2． [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．＝＝ 3．[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]. 4．复数乘法运算三角表示的几何意义：复数z1，z2对应的向量为表示的复数就是积z1z2．，绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量绕点O按逆时针方向旋转