10.2.2 复数的乘法与除法（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版必修第四册）

10.2.2 复数的乘法与除法 知识点归纳 知识点一、复数的乘法 1．定义：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 3.运算性质：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝z.(其中m，n∈N＋)．z 4．i的乘方运算性质：i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1(n∈N*). 5．共轭复数的性质：已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 (1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔eq \x\to(z)＝z. (2)z·eq \x\to(z)＝|eq \x\to(z)|2＝|z|2. (3)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d. (4)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0. (5)两个共轭复数的对应点关于x轴对称． 6．几个常用结论： (1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1,i)＝－i.(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 知识点二、复数的除法 1．定义：如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数． 2．意义：一般地，给定复数z≠0，称. 也可以看成z1与z2的倒数之积，因此可以利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝为z的倒数，z1除以z2的商 3．复数倒数运算：设z＝a＋bi，则. ＝，且＝ 4．复数的除法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，i. ＋＝＝ 知识点三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总有解，而且 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2