专题 9.1.2 余弦定理 题型分析-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版必修第四册）

专题　9.1.2 余弦定理 题型分析 专题一 已知两边及其夹角，解三角形 例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq \r(2)，C＝15°，解此三角形． 解析　cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)， sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝4＋8－2eq \r(2)×(eq \r(6)＋eq \r(2))＝8－4eq \r(3)， ∴c＝eq \r(6)－eq \r(2). 又由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)， ∴eq \f(2,sinA)＝eq \f(\r(6)－\r(2),\f(\r(6)－\r(2),4))，解得sinA＝eq \f(1,2). 又b2＋c2－a2>0，即cosA>0， ∴A为锐角，即A＝30°. ∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋15°)＝135°. 答案 见解析 归纳总结：已知三角形的两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)一般方法是： (1)利用余弦定理求出第三边； (2)利用余弦定理求出一个角； (3)利用三角形内角和定理求出第三个角． 若求出第三边后，再选用正弦定理求其他角也可以，但计算量大，故建议此类型题用余弦定理． 专题二 已知三边，解三角形 例2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC. 解析　∵a＞c＞b，∴A为最大角， 由余弦定理得，cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq \f(1,2)， 又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝eq \f(\r(3),2). 由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)， ∴sinC＝eq \f(csinA,a)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(5\r(3),14). ∴最大角A为120°，sinC＝eq \f(5\r(3),14). 答案 120°，sinC＝eq \f(5\r(3),14) 归纳总结：已知三角形三边解三角形(此时有