专题 9.1.1 正弦定理 题型分析-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版必修第四册）

专题　9.1.1 正弦定理 题型分析 专题一 已知两角和任一边，解三角形 例1 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，且∠A＝75°，则b＝(　　) A．2 B.eq \r(6)－eq \r(2) C．4－2eq \r(3) D．4＋2eq \r(3) 解析　由a＝c＝eq \r(6)＋eq \r(2)可知，∠C＝∠A＝75°，∴∠B＝30°，sinB＝eq \f(1,2). 又sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45° ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4). 由正弦定理，得b＝eq \f(a sinB,sinA)＝eq \f(\r(2)＋\r(6)×\f(1,2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝2，故选A. 答案　A 归纳总结：已知三角形的两角和任意一边，这个三角形是确定的．由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边． 专题二 已知两边和其中一边的对角，解三角形 例2 在△ABC中，已知a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，解这个三角形． 解析 由eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，得sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(2sin30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). ∵a<b，∴B>A＝30°.∴B为锐角或钝角． ∴B＝45°或B＝135°. (1)当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°. ∵eq \f(c,sinC)＝eq \f(a,sinA)，∴c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(\r(2)sin105°,sin30°)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(1,2))＝eq \r(3)＋1. (2)当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°. ∴c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(\r(2)sin1