9.2 正弦定理与余弦定理的应用（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版选择性必修第四册）

9.2 正弦定理与余弦定理的应用 知识点归纳 1．测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离． (2)测量两个不可到达点之间的距离． 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)． 图1　　　　 　　图2 2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 典例分析 一、正、余弦定理在计算三角形的面积的应用 例1　在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝eq \r(3)b. (1)求角A的大小； (2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积． 解析　(1)由2asinB＝eq \r(3)b及正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，得sinA＝eq \f(\r(3),2). 因为A是锐角，所以A＝eq \f(π,3). (2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴b2＋c2－bc＝36，∴(b＋c)2－3bc＝36. 又b＋c＝8， ∴bc＝eq \f(28,3). 由三角形面积公式S＝eq \f(1,2)bcsinA，得△ABC的面积为eq \f(7\r(3),3). 答案 (1) eq \f(π,3) (2) eq \f(7\r(3),3) 二、正、余弦定理在三角形中的三角函数的应用 例2　在△ABC中，BC＝eq \r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA. (1)求AB的值； (2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,4)))的值． 解析　(1)在△ABC中，根据正弦定理，得eq \f(AB,sinC)＝eq \f(BC,sinA). 于是AB＝eq \f(BC·s