9.1.2 余弦定理（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版必修第四册）

9.1.2 余弦定理 知识点归纳 知识点一、余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. 知识点二、余弦定理的推论 1．余弦定理的变形：cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab). 2．对余弦定理变形的理解 (1)应用推论，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角． (2)定理及推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (3)余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC中，由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 3．三角形中三边平方关系决定三角形的形状 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角. 典例分析 一、用余弦定理解三角形 例1 已知△ABC，a＝，B＝45°.求解三角形。，b＝ 解析 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B. ∴2＝3＋c2－2c.× 即c2－.或c＝c＋1＝0，解得c＝ 当c＝.－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝＝时，由余弦定理，得cos A＝ ∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°. 当c＝.－3,2×\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),2))＝－＝时，由余弦定理，得cos A＝ ∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°. 故c＝，A＝120°，C＝15°.，A＝60°，C＝75°或c＝ 答案 c＝，A＝120°，C＝15°，A＝60°，C＝75°或c＝ 二、用余弦定理判断三角形形状 例2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＝(2a－c)cosB. (1)求角B的大小； (2)若b2＝ac，试确定△ABC