9.1.1 正弦定理（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（人教B版选择性必修第四册）

9.1.1 正弦定理 知识点归纳 知识点一、正弦定理 1．正弦定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等。即：eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC) 2．正弦定理的常用变形： (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (2)eq \f(a,b)＝eq \f(sinA,sinB)，eq \f(a,c)＝eq \f(sinA,sinC)，eq \f(b,c)＝eq \f(sinB,sinC)； (3)eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)； (4)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (5)sinA＝eq \f(a,2R)，sinB＝eq \f(b,2R)，sinC＝eq \f(c,2R)； (6)A<B⇔a<b⇔2RsinA<2RsinB⇔sinA<sinB. 3．正弦定理的推广：由正弦定理的推导过程可以得到如下面积公式：S△＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)bcsinA． 4．三角形的面积公式 (1)S＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；b·hb＝a·ha＝ (2)S＝acsin B；bcsin A＝absin C＝ (3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 知识点二、解三角形 1.解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 2．利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题 (1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角； (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 3．讨论三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b，A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与除去顶点A的射线AB交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表： A<90° A≥90° a≥b a<b a>b a≤b a>bsinA a＝bsinA a<bsinA 　也可以如下判定：由“三角形中大边对大角”可知，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解