专题09 分式的规律探究问题-2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版） 专题09 分式的规律探究问题 【典型例题】 1．观察下面的变形规律：；； 解答下面的问题： （1）若为正整数，请你猜想________； （2）证明你猜想的结论； （3）求和：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】 （1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）利用分式的加减法则计算即可得到结果； （3）原式利用拆项方法变形，抵消即可得到结果． 【详解】 （1）； 故答案为：； （2）证明： ； （3）原式＝ ＝ ． 【点睛】 本题考查分式的加减运算，掌握分式加减法法则以及通分、约分的方法为解题关键． 【专题训练】 1、 选择题 1．有下列等式： 第1个等式：； 第2个等式，；第3个等式：； 第4个等式：；… 请你按照上面的规律解答下列问题： （1）第5个等式是_________________________； （2）写出你猜想的第n个等式：_______________________；（用含n的等式表示），并证明其正确性． 【答案】(1) ；(2)猜想：，理由见解析 【分析】 （1）根据已知式子可得下一个：； （2）根据观察可得第n个等式：根据分式运算法则，从等式的右边进行通分合并，由右边=左边可证得； 【详解】 （1） （2）猜想： 证明：等式右边 =等式左边 故猜想成立. 【点睛】 考核知识点：分式加减.观察规律，列出式子，运用分式加减法整理是关键. 2．观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第五个等式____________； （2）写出你猜想的第n个等式____________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【分析】 （1）观察式子，即可写出第五个等式； （2）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数． 【详解】 解：（1）； 故答案为：； （2）． 证明： ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题 （1）写出第8个等式：____________． （2）写出你猜想的第n个等式：____________(用含有n的等式表示），并证明这个等式． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】 （1）根据前5个等式的规律写出第8个等式； （2）第n个等式是，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】 解：（1）根据前面的规律，第8个等式是：； （2）第n个等式是， ， ∴等式成立． 【点睛】 本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法． 4．观察以下等式: 第1个等式:， 第2个等式:， 第3个等式:， 第4个等式:， …… 按照以上规律,解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 【答案】（1）；（2），见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据以上所总线的规律即可写出第6个等式； （2）同理，律即可猜想出第n个等式．证明方法：计算出左边的结果看是否等于1，即是否左、右相等． 【详解】 解：（1） （2）第n个等式为： ∴等式成立 【点睛】 解答此题意的关键是根据前几个算式找出各分数的分子、分母与等式序数之间的关系找出规律，然后根据规律写出第n个等式，再证明猜想是否正确． 5．观察以下等式： 第1个等式：=1， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：　　　　　　　　　．  (2)写出你猜想的第n个等式：　　　　　　　　　(用含n的式子表示)，并证明其正确性． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】 （1）根据前5个等式的规律写出第6个等式即可； （2）第n个等式是，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】 解： (1)第6个等式为：． 故答案为：， (2) 第n个等式：， 故答案为：， 证明：， ∵左边=右边， ∴等式成立． 【点睛】 本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．