第27章 小专题(五) 三角形内接特殊四边形问题-【名校课堂】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）全国课件

MING XIAO KE TANG 湖北世纪华章文化传播有限公司 * MING XIAO KE TANG 第二十七章　相似 小专题(五)　三角形内接特殊四边形问题 ——教材P58复习题T11的变式与应用 数 学 MING XIAO KE TANG 教材母题：(2020·凉山州)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？ MING XIAO KE TANG 【母题分析】　(1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比． (2)解决本题的关键点：由EF∥GH，得到△AEF∽△ABC. (3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系． MING XIAO KE TANG 解：设正方形的边长为x mm，则EF＝x mm， ∵AD⊥BC，AD＝80 mm， ∴AK＝(80－x)mm. ∵正方形EFHG内接于△ABC，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC. ∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(AK,AD)， 即eq \f(x,120)＝eq \f(80－x,80).解得x＝48. ∴这个正方形零件的边长是48 mm. MING XIAO KE TANG (1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和． (2)方程思想：利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中． MING XIAO KE TANG 1．如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ． eq \f(12,7) MING XIAO KE TANG 2．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝eq \f(2,3)EH，那么EH的长为 ． eq \f(3,2) MING XIAO KE TANG 3．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为 ． eq \f(12\r(13),13) MING XIAO KE TANG 4．如图，已知锐角三角形ABC中，边BC长为12，高AD长为8.矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K. (1)求eq \f(EF,AK)的值； (2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S， 求S与x的函数关系式，并求S的最大值． MING XIAO KE TANG 解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD分别是△AEF，△ABC的高， ∴eq \f(AK,AD)＝eq \f(EF,BC). ∴eq \f(EF,AK)＝eq \f(BC,AD)＝eq \f(3,2). MING XIAO KE TANG (2)∵EF∥BC，AD⊥BC，∴AD⊥EF. 由(1)可知，△AEF∽△ABC， ∴eq \f(AK,AD)＝eq \f(EF,BC). ∵EH＝KD＝x，AD＝8，BC＝12，AK＝8－x， ∴eq \f(8－x,8)＝eq \f(EF,12). ∴EF＝12－eq \f(3,2)x. MING XIAO KE TANG ∴S＝EH·EF＝－eq \f(3,2)x2＋12x＝－eq \f(3,2)(x－4)2＋24. ∵0＜x＜8， ∴当x＝4时，S有最大值，最大值为24. $