第27章 小专题(七) 圆与相似-【名校课堂】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）全国课件

MING XIAO KE TANG 湖北世纪华章文化传播有限公司 * MING XIAO KE TANG 第二十七章　相似 小专题(七)　圆与相似 数 学 MING XIAO KE TANG D 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC边于点E，AD＝5，BD＝2，则DE的长为( ) A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,25) C.eq \f(2,25) D.eq \f(4,5) MING XIAO KE TANG 4∶3 2．如图所示，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝ ． MING XIAO KE TANG 3．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上． (1)求证：∠CAD＝∠BDC； (2)若BD＝eq \f(2,3)AD，AC＝3，求CD的长． MING XIAO KE TANG 解：(1)证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB. ∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB＋∠BDC＝90°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠OBD＋∠CAD＝90°.∴∠CAD＝∠BDC. MING XIAO KE TANG (2)∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB， ∴△CDB∽△CAD.∴eq \f(BD,AD)＝eq \f(CD,AC). ∵BD＝eq \f(2,3)AD，∴eq \f(BD,AD)＝eq \f(2,3).∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(2,3). 又∵AC＝3，∴CD＝2. MING XIAO KE TANG 如图，PA为⊙O的切线，PC交⊙O于B，C两点，则有△PAB∽△PCA. MING XIAO KE TANG 4．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证： (1)△ABC为等腰三角形； (2)AM·CP＝AN·CB. MING XIAO KE TANG 证明：(1)∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC＝90°. ∵PC是⊙O的切线， ∴∠BCP＝∠CAN. ∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN. 又∵AN⊥BC，∴∠ACB＝∠ABC. ∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形． MING XIAO KE TANG (2)连接MN. 由(1)可知，∠ABC＝∠ACB. ∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知∠BCP＝∠BAN， ∴△BPC∽△MNA. ∴eq \f(CB,AM)＝eq \f(CP,AN)，即AM·CP＝AN·CB. MING XIAO KE TANG 5．(2020·聊城)如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，AC＝6eq \r(10)，求此时DE的长． MING XIAO KE TANG 解：(1)证明：连接OD，BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°. ∴BD⊥AC. ∵AB＝BC， ∴D为AC中点． MING XIAO KE TANG 又∵OA＝OB， ∴OD∥BC. ∵DE⊥BC，∴DE⊥OD. ∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． MING XIAO KE TANG (2)由(1)知BD是AC的中线， ∴AD＝CD＝eq \f(1,2)AC＝3eq \r(10). ∵⊙O的半径为5，∴AB＝10. ∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(102－（3\r(10)）2)＝eq \r(10). ∵AB＝AC，∴∠A＝∠C. 又∵∠ADB＝∠CED＝90°， ∴△CDE∽△ABD. ∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(DE,BD)，即eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(DE,\r(10)). ∴DE＝3. $