专题02 垂直平分线与角平分线-2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版） 专题02 垂直平分线与角平分线 【典型例题】 1．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足； （1）直接写出∠BAC的度数； （2）求∠DAF的度数； （3）若BC的长为30，求△DAF的周长． 【答案】(1)；（2）；（3） 【分析】 （1）由题意直接根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）由题意根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算； （3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣25°﹣55°＝100°； （2）∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠ABC＝25°， ∵FG是线段AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠ACB＝55°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣25°﹣55°＝20°； （3）∵BC=30， 由（2）可知， AD＝BD，FA＝FC， ∴C△DAF=AD+DF+FA ＝BD+DF+FC＝BC＝30． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【专题训练】 1、 选择题 1．如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（ ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】B 【分析】 根据∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根据角平分线的性质得到DE=BD=１． 【详解】 ∵，∴，又∵平分，，∴由角平分线的性质得． 故选：B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题． 2．如图，在ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，ABC的周长为20，则AEC的周长为（ ） A．14 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到EC=EB，BC=2BD=6，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】 ∵ED是线段BC的垂直平分线， ∴EC=EB，BC=2BD=6， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+AC+BC=20， ∴AB+AC=14， ∴△AEC的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AC+AB=14， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，，若的周长为cm，cm，则（ ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】 根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，能推出2DE+2EC=16，即可求解． 【详解】 解：∵AD⊥BC，BD=DE，EF垂直平分AC ∴AB=AE=EC ∵△ABC周长是26cm，AF=5cm ∴AC=10cm ∴AB+BC=16cm ∴AB+BE+EC=16cm 即2DE+2EC=16cm ∴DE+EC=8cm ∴DC=DE+EC=8cm 故选A． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等时解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】 过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEB=∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠EFC及AG的值，进而可判定CF=CE．设CF=EG=EC=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长． 【详解】 解：过点E作EG⊥AB于点G，如图： ∵CD⊥AB于D， ∴EG∥CD， ∴∠GEB＝∠EFC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴EC⊥CB， 又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB， ∴EG＝EC． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5． 在Rt△EBC和Rt△EBG中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL）， ∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4， ∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1， ∴CF＝CE． 设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x， 在Rt△AEG中，由