专题01 等腰与直角三角形-2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版） 专题01 等腰与直角三角形 【典型例题】 1．如图，以△ABC的两边AB和AC为腰在△ABC外部作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°． （1）连接BE、CD交于点F，如图①，求证：BE＝CD，BE⊥CD； （2）连接DE，AM⊥BC于点M，直线AM交DE于点N，如图②，求证：DN＝EN． 【答案】（1）见详解；（2）见详解． 【分析】 （1）只要证明△ABE≌△ADC即可解决问题； （2）延长AN到G，使AG=BC，连接GE，先证，再证即可解决问题． 【详解】 （1）证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AE=AC， 又∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE， 即∠BAE=∠DAC， ∴△ABE≌△ADC， ∴BE=DC，∠ABE=∠ADC， 又∵∠DOF=∠AOB，∠BOA+∠ABE=90°， ∴∠ABE+∠DOF=90° ∴∠ADC+∠DOF=90， 即BE⊥DC． （2）延长AN到G使AG=BC，连接GE， ， ， ， ， 同理可证： ， ∴， ，， ， 又， ∴， ． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，辅助线是解此题的关键． 【专题训练】 1、 选择题 1．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（　　） A．30° B．25° C．15° D．10° 【答案】C 【分析】 先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 2．已知等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（ ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】 题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：分两种情况： 当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形； 当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（　　） A．18° B．19° C．20° D．40° 【答案】B 【分析】 先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 4．如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由等边三角形三线合一即可求出，．再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出． 【详解】 ∵是等边三角形，且AD为中线． ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键． 5．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB’关于直线AD对称，点B的对称点是点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B的度数为 （ ） A．38° B．48° C．50° D．52° 【答案】D 【分析】 由对称的性质得，根据∠BAC＝90°可得，再根据直角三角形两锐角关系求解即可． 【详解】 解：∵△ABD与△ADB’关于直线AD对称， ∴ ∵∠BAC＝90°，∠B’AC＝14° ∴ ∴ ∴ 故选D． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质以及直角三角形两锐角关系，掌握轴对称的性质是本题的关键． 6．如图，面积为9，平分，于点，连结，则的面积为（ ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】B 【分析】 延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC． 【详解】 解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠EPB=90°， 在△A