第1章 小专题(一) 求锐角三角函数值的常用方法-【名校课堂】2020-2021学年九年级下册初三数学（北师大版）全国课件

MING XIAO KE TANG 湖北世纪华章文化传播有限公司 * MING XIAO KE TANG 第一章　直角三角形的边角关系 小专题(一)　求锐角三角函数值的常用方法 数 学 MING XIAO KE TANG 方法1　定义法 1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值． MING XIAO KE TANG 解：∵sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5)，AB＝15， ∴BC＝eq \f(4,5)AB＝eq \f(4,5)×15＝12. ∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝9. ∴△ABC的周长为9＋12＋15＝36， tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(12,9)＝eq \f(4,3). MING XIAO KE TANG 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处．若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为 ． eq \f(\r(10),10) MING XIAO KE TANG 方法2　设参数法 若已知两边的比值或一个角的锐角三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数的相关定义计算它们的比值，即可得出三角函数值． MING XIAO KE TANG D 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝( ) A．eq \f(3,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(\r(6),2) D．eq \f(\r(6),3) MING XIAO KE TANG 4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，则sin∠ECM＝ ． eq \f(\r(5),5) MING XIAO KE TANG 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)． (1)求证：△ACE≌△AFE； (2)求tan∠CAE的值． MING XIAO KE TANG 解：(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE＝EF. 在Rt△ACE和Rt△AFE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝FE，,AE＝AE，)) ∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)． MING XIAO KE TANG (2)由(1)可知△ACE≌△AFE， ∴AC＝AF. 设BF＝m，则AC＝AF＝2m，∴AB＝3m. ∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(9m2－4m2)＝eq \r(5)m. ∴在Rt△ABC中，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(2m,\r(5)m)＝eq \f(2,\r(5)). MING XIAO KE TANG 在Rt△EFB中，EF＝BF·tanB＝eq \f(2m,\r(5))， ∴CE＝EF＝eq \f(2m,\r(5)). ∴在Rt△ACE中，tan∠CAE＝eq \f(CE,AC)＝eq \f(\f(2m,\r(5)),2m)＝eq \f(\r(5),5). MING XIAO KE TANG 方法3　等角转换法 若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值． MING XIAO KE TANG 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是 ． eq \f(3,4) MING XIAO KE TANG 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕．若AE＝3，则sin∠BFD的值为 ． eq \f(1,3) MING XIAO KE TANG 8．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG∥CF交DE于点G. (1)求证：△DCF≌△ADG； (2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值． MING XIAO KE TANG 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD＝∠CFG＝90°. ∵AG∥CF， ∴∠AGD＝∠CFG＝90°. ∴∠AGD＝∠CFD． 又∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°， MING XIAO KE TANG ∠DCF＋∠CDE＝90°， ∴∠ADG＝∠DCF. 在△DCF和△ADG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\a