专题5.2 几何综合（解答题25题压轴题）-2021年上海16区数学二模难点汇编+举一反三

2021年上海16区中考数学二模难点汇编+举一反三冲刺练 难点专题五 几何综合（解答题25题） 杨浦 松江 嘉定 奉贤 青浦 黄埔 浦东新区 松江 【2021杨浦二模】 25. 如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝，点P是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D． （1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径； （2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长； （3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围． 【答案】（1）；（2）3或；（3）当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18 【解析】 【分析】（1）解直角三角形求出PA即可． （2）分两种情形：如图，当点O在射线AB的上方时，，当点O在射线AB的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）求出两圆内切时AP的值，条件⊙O与AC相切于时A时，AP的值，即可判断． 详解】解：（1）如图， ∵点O在PA上，PQ是⊙O的切线， ∴PQ⊥AP， ∵cot∠PAQ＝ ＝ ， ∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，则AQ＝5k＝15， ∴k＝3， ∴PA＝9，PQ＝12， ∴⊙O的半径为 ． （2）如图，当点O在射线AB的上方时，过点Q作QK⊥AB于K，过点O作OH⊥AB于H． ∵PQ是⊙O的切线， ∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°， ∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°， ∴△PHO∽△QKP， ∴ 设PA＝2m，则AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m， ∴ 解得，m＝ 或﹣3， 经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意． ∴AP＝3． 如图，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP＝． 综上所述，满足条件的AP的值为3或． （3）如图，当⊙P与⊙O内切时， 由△PHO∽△QKP，可得 , ∵OH⊥AP， ∴AH＝PH， ∴AP＝2PH，QK＝2PH， ∴PA＝QK＝12， 如图，当⊙O与AC相切于点A时， ∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，OA＝OP， ∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL）， ∴AQ＝PQ， ∵OA＝OP， ∴OQ垂直平分线段AP， ∴AP＝2AH＝18， 观察图像可知：当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12． 当⊙O与⊙P内切时，AP＝12． 当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18． 【点睛】本题相似三角形、全等三角形的判定、圆与圆的位置关系．分类讨论思想是难点．灵活进行角的转换证明相似是重点． 【举一反三】 （2020·崇明县大同中学九年级月考）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC＝1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G． （1）若，求的值； （2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由； （3）连接AG，若AD＝2，AB＝3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长． 【答案】（1）；（2）AG∥DC，且；理由见解析；（3）BF＝1． 【分析】 （1）延长CE和DA，相交于M，根据平行线分线段成比例进行计算可以求出的值； （2）在（1）的条件下，求出，根据对应线段的比相等可以得到AG与DC的位置和数量关系； （3）根据∠ADG＝∠DFC分两种情况讨论：①当∠AGD＝∠FDC，即△ADG∽△CFD时，②当∠DAG＝∠FDC时，分别求解即可． 【详解】 解：（1）∵BF：FC＝1：3， ∴设BF＝k，则FC＝3k，BC＝4k， ∵AD：BC＝1：2， ∴AD＝2k， 如图：延长CE交DA的延长线于点M， ∵AD∥BC， ∴，且， ∵点E为边AB中点， ∴AM＝BC＝4k， ∴DM＝DA+AM＝2k+4k＝6k， ∴； （2）AG∥DC，且． 证明：∵AD∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴AG∥DC， ∴； （3）∵ABCD是等腰梯形，AD＝2，AD：BC＝1：2， ∴BC＝4， ∵AD∥BC， ∴∠ADG＝∠DFC， ∵△ADG和△CDF相似， ∴∠AGD＝∠FDC或∠DAG＝∠FDC， ①当∠AGD＝∠FDC，即△ADG∽△CFD时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM＝4， 由得， ∴AG＝2， ∵△ADG∽△CFD， ∴，即， ∴CF＝3， ∴BF＝1； ②当∠DAG＝∠FDC时，延长AG交BC于点T， ∵∠ATB＝∠DAG＝∠FDC，∠B＝∠C， ∴△ABT∽△FCD， ∴， 由AD∥BC得， 设BF＝x， 则， ∴FT＝， ∴， 整理得：2x2﹣4x+11＝0， ∵△＝16﹣88＜0， ∴无实数根，即此情况不存在； 综上所述，BF＝