第17章 小专题(三) 方程思想在勾股定理中的应用——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用-【名校课堂】2020-2021学年八年级下册初二数学（人教版）全国课件

MING XIAO KE TANG 湖北世纪华章文化传播有限公司 * MING XIAO KE TANG 第十七章　勾股定理 小专题(三)　方程思想在勾股定理中的应用 ——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用 数 学 MING XIAO KE TANG 【教材母题】　一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．) MING XIAO KE TANG 解：设AB＝x尺，根据题意，得 ∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺， ∴BC＝(10－x)尺． ∵AC2＋AB2＝BC2， ∴32＋x2＝(10－x)2， 解得x＝4eq \f(11,20). 答：折断处离地面4eq \f(11,20)尺． MING XIAO KE TANG 在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠． MING XIAO KE TANG 类型1　利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系 1．求下列直角三角形中未知的边长． MING XIAO KE TANG 解：如图1，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2x.∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(2x)2＝x2＋32.∴x＝eq \r(3)或－eq \r(3)(负值舍去)． ∴AC＝eq \r(3)，AB＝2eq \r(3). 如图2，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴BC＝AC＝x.∵AB2＝AC2＋BC2， ∴x2＋x2＝(3eq \r(2))2.∴x＝3或－3(负值舍去)． ∴AC＝BC＝3. MING XIAO KE TANG 2 1 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，则AC∶BC∶AB＝1∶ ∶ ． (2)如图2，在Rt△ABC中，∠A＝45°，∠C＝90°，则AC∶BC∶AB＝1∶ ∶ ． eq \r(3) eq \r(2) MING XIAO KE TANG D 类型2　共高的双直角三角形中边的数量关系 2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高，则线段AD的长度为( ) A．eq \f(12,5) B．eq \f(24,5) C.eq \f(13,5) D．eq \f(7,5) MING XIAO KE TANG 16 3．如图，在△ABC中，AB＝eq \r(41)，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为 ． MING XIAO KE TANG C 类型3　利用图形的折叠找两边的数量关系 4．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( ) A．eq \f(5,3) B．eq \f(5,2) C.eq \f(8,3) D．5 MING XIAO KE TANG 6 5．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝ ． MING XIAO KE TANG 6．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为 ． 2eq \r(5) MING XIAO KE TANG 类型4　利用勾股定理和方程思想求点的坐标 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为 (0，eq \f(11,8))． $