专题03 情景探究类-2020-2021学年八年级数学下学期期末压轴题分类专项突破（苏科版）

专题03情景探究类 第9-12章 四边形、分式、反比例函数、二次根式 共46题 一、解答题 1．（2020·江苏南京市·八年级期末）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换 旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法． （1）（问题提出） 如图①，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM＋DN． 证明思路如下： 第一步：如图②，将 绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上． 第二步：证明 ． 请你按照证明思路写出完整的证明过程. （2）（初步思考） 如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到 和 ． 下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE=∠CDG． 其中所有正确结论的序号是　　 　． （3）（深入研究） 如图④，分别以□ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为　　 　． 【答案】（1）详见解析；（2）②；（3）16 【解析】 （1）将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，证明 ，即可得到结论； （2）通过证明 与 不一定全等，可以判断①③，过 作 于 过 作 交 的延长线于 ，证明 再利用正方形的性质与三角形的面积公式可判断②． （3）连接 证明 同理可得到其余的全等三角形，利用平行四边形的性质可得答案．（1）证明：将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE， 在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABM=∠D=90°， 由旋转可知 ， ∴ ∠D=∠ABE=90°，∠DAN=∠BAE，AN=AE，DN=BE， ∴ ∠ABE＋∠ABM=180° ∴ E、B、M三点在一条直线上 ∵ ∠MAN=45° ∴ ∠DAN＋∠BAM=45° ∵ ∠DAN=∠BAE ∴ ∠BAE＋∠BAM=∠EAM=45° ∴ ∠EAM=∠MAN ∵ AN=AE，AM=AM ∴ （SAS） ∴ ME=MN ∵ ME=BE＋BM ∴ MN=DN＋BM （2）如图， 正方形 ，正方形 ， 但是： 而 与 不一定相等， 所以： 与 不一定全等， 所以：两个三角形的周长不一定相等， 与 不一定相等， 故①③错误， 过 作 于 过 作 交 的延长线于 ， 正方形 ， 正方形 ， 故②正确． 故答案为：② ． （3）如图，连接 正方形 正方形 ， 同理， 所以：图中阴影部分（四个三角形）的面积之和＝ 故答案为：16 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与正方形的性质，作出适当的辅助线构建三角形全等是解题的关键． 2．（2021·江苏镇江市·八年级期末）（定义） 如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”． （理解） （1）如图（1），在 中， ，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数． （2）如图（2），已知 是一个顶角为 的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数． （应用） （3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”． ①你认为直角三角形的_ _就是它的“二分等腰线”； ②如图（3），在 中， ，请你在图（3）中帮助小丽画出 的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （4）在 中， 和 分别是 的“三分等腰线”，点 在边 上，点 在 边上，且 ，请根据题意写出 度数的所有可能的值 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①斜边上的中线；②见解析；（4）22°或38° 【解析】 （1）作CD将∠ACB分成∠ACD=33°，∠DCB=48°，然后理由三角形内角和定理可知∠B=∠CDB=66°正好是等腰三角形； （2）理由顶角为36°的等腰三角形，底角是72°正好是顶角的2倍这一特点即可作出图形； （3）①根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得出结论；②作Rt△ABC斜边的垂直平