1.4 二次根式-2021河南中考数学·命题非常解读

13　　　 第四节　 二次根式 二次根式的性质及运算 1.二次根式的概念 一般地,我们把形如 a(a≥0)的式子叫做 　 　 　 　 　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是 单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为 负数没有平方根,所以 a≥0 是 a为二次根式的前 提条件,如 5, x2 +1, x -1(x≥1)等是二次根 式,而 -2, - x2 -7等都不是二次根式. 2.二次根式的取值范围 (1)二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知,当 　 　 　 　 　 时, a 有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意 义,只要使被开方数大于或等于零即可. (2)二次根式无意义的条件 因负数没有算术平方根,所以当　 　 　 　 　 时, a 没有意义. 3.二次根式 a（a≥0）的非负性 a(a≥0)表示 a 的算术平方根,也就是说, a(a≥0) 是一个　 　 　 　 　 　 ,即 a≥0(a≥0) . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 因为二次根式 a(a≥0)表示 a 的算术平方 根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根 是 0,所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数, 即 a≥0(a≥0),这个性质也就是非负数的算术 平方根的性质,和绝对值、偶次方类似. 这个性质 在解答题目时应用较多,如:若 a + b = 0,则 a = 0,b =0;若 a + | b | = 0,则 a = 0,b = 0;若 a + b2 = 0,则 a = 0,b = 0. 4.二次根式（ a）2 的性质 ( a) 2 = a(a≥0),也就是说:一个非负数的　 　 　 　 　 　 　 　 的平方等于这个非负数. 5.二次根式 a2的性质 a2 = | a | = a(a≥0), - a(a < 0) .{ 6.（ a）2 与 a2的异同点 (1)不同点:( a)2 与 a2 表示的意义是不同的, ( a)2 表示一个正数 a 的算术平方根的平方,而 a2 表示一个实数 a 的平方的算术平方根;在 ( a)2 中 a≥0,而在 a2中 a 可以是正实数、0、 负实数. 虽然 ( a)2 与 a2 都是非负数,即 ( a)2≥0, a2≥0,但它们的运算的结果是有差 别的,( a)2 = a(a≥0),a <0 时,( a)2 无意义, 而 a2 = |a | = a(a≥0), - a(a < 0) .{ (2)相同点:当被开方数都是非负数,即 a≥0 时, ( a) 2 = a2 . 7.二次根式的运算 (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式 能够开得尽方,那么,就可以求出它的算术平方 根而移到根号外面;如果被开方数是代数和的 形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移 因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正 因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法 二次根式加减时,先将各二次根式化成最简二 次根式,再将被开方数相同的二次根式进行 合并. (3)二次根式的乘除法 二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所 得的积(商)仍作积(商)的被开方数,并将运算 结果化为最简二次根式,即 a· b = ab(a≥ 0,b≥0); b a = ba (b≥0,a > 0) . (4)有理数的加法交换律、加法结合律、乘法交换 律、乘法结合律、乘法的分配律以及多项式的乘 法公式,都适用于二次根式的运算. 二次根式的估值 8. (1)先对根式平方,如( 11) 2 = 11; (2)找出平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整 数,如 9 < 11 < 16; (3)对以上两个整数开方, 9 = 3, 16 = 4; (4)确定这个根式的值在这两个整数之间,如 3 < 11 < 4. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 要熟记