专题02 《勾股定理》期末挑重点之2020-2021学年下学期八年级数学（人教版）

专题02勾股定理 一、知识结构导图 实际问题 （直角三角形变长计算） 勾股定理 勾股定理的逆定理 互逆定理 实际问题 （判定直角三角形） 二、知识点回顾 1．勾股定理与勾股定理的逆定理 定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2 = c2 如果三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2+b2 = c2那么这个三角形是直角三角形 题设 直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c 三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2+b2 = c2 结论 a2+b2 = c2 这个三角形是直角三角形 备注 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法 2.勾股定理的证明用拼图方法，借助面积的不变关系来证明． 3.勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系； （3）用于证明含有平方关系的式子； （4）借助勾股定理来构造方程，解决实际问题． 4.运用勾股定理逆定理解题的步骤： （1）确定最大边（如）； （2）验证a2+b2与c2是否有相等关系：若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形． 5.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关. 三、链接中考 一、求长度 例1（2020·陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【解析】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴，∴，∴BD＝，故选：D． 【名师点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 二、利用勾股定理求面积 例2（2020·河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【答案】B 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【解析】根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；∵，故选：B． 【名师点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 三、勾股定理逆定理 例3（2019年益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是（　） A.锐角三角形　　B.直角三角形　　　C.钝角三角形　　　　D.等腰三角形 【答案】B 【分析】依据作图可得到ＡＣ＝ＡＮ＝４，ＢＣ＝ＢＭ＝３，ＡＢ＝２＝２＋１＝５，ＡＣ2＋ＢＣ2=AB2，即可得出△ＡＢＣ是直角三角形． 【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB＝1， ∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴，，, ∴， ∴△ABC是直角三角形. 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形三边长ａ,ｂ,ｃ满足ａ２＋ｂ２＝ｃ２，那么这个三角形就是直角三角形． 四、勾股定理的实际应用 例4（2020·辽宁盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案． 【解析】设芦苇的长度是尺，如下图 则，， 在中，