专题03 平面向量的应用（知识点串讲） - 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（人教A版2019）

专题03平面向量的应用 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 【基础知识点一】向量方法在几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系三向量在物理中的应用. 【基础知识点二】向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）功是力F与位移s的数量积. 【基础知识点三】正弦定理 （1）正弦定理的内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在中，（其中为外接圆的半径）． （2）正弦定理的变形 ①； ②； ③； ④； ⑤． 【基础知识点四】余弦定理 （1）余弦定理的内容 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的二倍，即在中， （2）余弦定理的变形 ① ② 温馨提示：①在中，若，则，这就是勾股定理，由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． ②由余弦定理知：在中，若为锐角，则，即；若为钝角，则，从而，即；若为直角，则．在解选择题或填空题时使用上述结论较方便． 【基础知识点五】三角形的面积公式 在中，设的对边分别为，边上的高分别为，为的面积， ①； ②． 知识拓展 三角形面积公式的其他形式 若为的面积，在中，的对边分别为为内切圆的半径，为 外接圆的半径，（周长的一半），则 ①（海伦公式）； ②； ③； ④数量积形式的三角形面积公式： 在中，设且，则； ⑤坐标形式的三角形面积公式： 在中，设，则． 【必知必会题型深度讲解】 【必知必会题型一】向量在平面几何中的应用 【解题方法】 考查角度 （1）证明线线平行或三点共线问题； （2）证明线线垂直问题 （3）求线段长度或证明线段相等 常用解法 （1）证明线线平行或三点共线的方法 ①几何图形中要证明线段AB∥CD，只需证明存在实数，使得或，其中. ②几何图形中要证明A，B，C三点共线，只需证明存在实数，使得或存在实数t，使得. （2）利用向量解决垂直问题的方法 对于线段的垂直问题，可以转化为两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. （3）用向量法求长度 ①利用图形特点选择基底，用公式求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，则. 如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 【答案】证明见解析 设=，=，=，=，=， 则=+，=+， 所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2， 由条件知：2=2﹣2+2， 所以·=·，即·(-)=0， 即， 所以AD⊥BC. 1．已知三个点，，. （1）求证：； （2）若四边形为矩形，求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2），矩形两对角线所成锐角的余弦值为. 解：（1）由题知，，，所以，所以，所以； （2）设点的坐标为，则根据四边形为矩形得，即：，所以，解得，所以； 所以，， 所以， 矩形两对角线所成锐角的余弦值为. 2．【上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期10月月考】（1）已知的三边长，，，求； （2）在中，已知斜边，若长为的线段以点为中点，求的最大值？ 【答案】（1）；（2）0. （1）由余弦定理得， 同理，， 所以 ； （2）由题意作出图形，如图， 因为，，， 所以 ， 故当，即与同向时，取得最大值0. 3．如图所示，在平行四边形中，已知，，，点在线段上（除两端点），．求点的位置． 【答案】点在的三等分点处． 设，，（）， 在平行四边形中， ，， 而，所以， ，即， ∵，∴，∴， 即点在的三等分点处． 4．【上海市华东师范大学附属周浦中学2020-2021学年高二上学期期中】如图，两条相交成角的直路EF､MN，交点是O，一开始，甲在OE上距O点2km的点A处，乙在OM上距O点1km的点B处，现在他们同时以2km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向，设OE同向的单位向量为设OM同向的单位向量为. (1)若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用表示； (2)若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用表示； (3)什么时间两人间距最短? 【答案】（1）；（2）；（3）. （1）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点， 则，， 故. （2）同（1）可得：经过t小时后，甲到达G点，乙到达H点， 则，， 故. （3）由（2）可得， 故两人间距离 ， 由二次函数的知识可知，当时， 上式取到最小值，故时两人间距离最短. 【必知必会题型二】向量在物理中的应用 【解题