专题3.1 几何证明专题（大题23题）-2021年上海16区数学二模难点汇编+举一反三

2021年上海16区中考数学二模难点汇编+举一反三冲刺练 难点专题三 几何证明 崇明 静安 宝山 金山 普陀 闵行 虹口 长宁 杨浦 松江 嘉定 奉贤 青浦 黄埔 浦东新区 松江 【2021年崇明区】 23．（12分）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于E，联结HO并延长交CD于点G， （1）求证：∠DHO＝∠BCD； （2）求证：HG•AE＝2DE•CG． 【分析】（1）先判断出OB＝OD，进而判断出OH＝OD，得出∠DHO＝∠BDH，再用等角的余角相等判断出∠DHO＝∠BAO，即可得出结论； （2）先判断出∠ADH＝∠COG，进而判断出△ADE∽△COG，得出AE•OG＝DE•CG，再判断出△AOH≌△COG，得出OG＝HG，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠BCD＝∠BAD＝2∠BAO， ∵点O是菱形ABCD的两条对角线的交点， ∴OB＝OD， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴OH＝OD， ∴∠DHO＝∠BDH， 在Rt△BHD中，∠BDH+∠ABO＝90°， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠BDH＝∠BAO， ∴∠DHO＝∠BAO， ∴∠BCD＝2∠DHO， ∴∠DHO＝∠BCD； （2）由（1）知，∠DHB＝∠BAO， ∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴OA＝OC，∠DAO＝∠BAO， ∴∠DHB＝∠DAO， ∵∠AED＝∠HEO， ∴∠AOH＝∠ADE， ∵∠AOH＝∠COG， ∴∠ADH＝∠COG， ∵∠DAE＝∠OCG， ∴△ADE∽△COG， ∴， ∴AE•OG＝DE•CG， 在△AOH和△COG中，， ∴△AOH≌△COG（SAS）， ∴OH＝OG， ∴OG＝HG， ∴AE•HG＝DE•CG， ∴HG•AE＝2DE•CG． 【2021年静安区】 23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于点F． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形；D C E F （第23题图） A B （2）如果， 求证：四边形AFCD是菱形． 【答案】23．证明：（1）∵AD//BC，∴． （2分） ∵AE=EC ，∴DE=EF． （2分） ∴四边形AFCD是平行四边形， （2分） （2）∵，AE， ∴． （1分） ∴． （1分） ∵AD//BC，∴∠DAE=∠ACB, （1分） ∴△DAE∽△ACB． （1分） ∵∠B=90°，∴∠AED=∠B =90° （1分） ∵四边形AFCD是平行四边形，∴四边形AFCD是菱形． （1分） 【举一反三】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG. （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）如果点G是BC的中点，且BC=12，DC=10，求四边形AGCD的面积. 【解析】证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴AG=DC， ∵E、F分别为AG、DC的中点， ∴，， 即GE=DF，GE∥DF， ∴四边形DEGF是平行四边形； （2）∵点G是BC的中点，BC=12， ∴， ∵四边形AGCD是平行四边形，DC=10， AG=DC=10， 在Rt△ABG中， 根据勾股定理：AB=8， ∴四边形AGCD的面积为： 【解析】（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可； （2）由点G是BC的中点，BC=12，得到，根据四边形AGCD是平行四边形，DC=10，根据勾股定理得：AB=8，求出四边形AGCD的面积为. 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键． 2021年宝山区 23．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F． （1）求证：AD2＝DG•AF； （2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论； （2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合（1）AD2＝DG•AF，即可求出AF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF，AD∥BC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠F， ∴AD＝DF， ∵∠GDF＝∠F， ∴△GDF∽