专题05 立体几何初步【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新人教B版2019）

专题05 立体几何初步【知识梳理】 空间几何体的结构及其表面积、体积 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 柱　体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝eq \f(1,3)S底h 台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h 球 S＝4πR2 V＝eq \f(4,3)πR3 【例题1】下列说法正确的是（ ） A．直四棱柱是长方体 B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱 【答案】C 【详解】 直四棱柱的底面不一定是长方形，因此不一定是长方体，A错； 两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错； 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确； 平行六面体一定是棱柱，D错． 故选：C． 【例题2】如图的正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示， 由斜二测画法的规则知与 轴平行的线段其长度不变， 正方形的对角线在 轴上， 可求得其长度为 ，故在原平面图中其在 轴上， 且其长度变为原来的2倍，长度为 ， 所以原来的图形是平行四边形， 其在横轴上的边长为1，高为 ， 所以它的面积是 ． 故选：A 【跟踪训练1】棱长为a的正四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】棱长都是3的三棱锥的表面积S为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】已知三棱锥 的四个顶点都在球O的表面上，且 ， ，若已知 ， ， ， ，则球O的体积是（ ） A． B． C． D． 平面的基本性质与推论 1.平面的基本性质 基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是异面直线 a⊂α 3.异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). 【例题1】下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形一定是平面图形 D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行 【答案】C 【详解】 A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确； B：点在直线上时，不能确定平面，不正确； C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确； D：过平面外一点与平面平行