专题训练（七） 分式的化简与求值-2020-2021学年七年级下册初一数学【黄冈100分闯关】沪科版（教用）

专题训练(七)　分式的化简与求值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型之一　化简代入法 １．先化简,再求值: x x２－１÷ (１＋ １ x－１ ),其中x＝２． 解:原式＝ １ x＋１ ,把x＝２代入,得原式＝ １ ２＋１＝ １ ３ ２．先化简,再求值: (１ x－１－ １ x＋１ )÷ x＋２ x２－１ ,其中x 满足２x－６＝０． 解:原式＝ ２ x＋２ ,∵２x－６＝０,∴x＝３．当x＝３时,原 式＝ ２ ５ 类型之二　整体代入法 ３．若ab＝－１,a－b＝２,则 b a＋ a b＝　－２　． ４．已知x２＋x－１＝０,求x(１－ ２ １－x )÷(x＋１)－ x(x２－１) x２－２x＋１ 的值． 解:原式＝ －x２ x－１． 因为x２＋x－１＝０,所以－x２＝x－ １,所以原式＝１ ５．已知x－３y＝０,求 ２x＋y x２－２xy＋y２ 􀅰(x－y)的值． 解:原式＝ ２x＋y x－y ,当x－３y＝０时,x＝３y,∴原式＝ ６y＋y ３y－y ＝ ７y ２y ＝ ７ ２ 类型之三　倒数法 ６．已知x＋ １ x＝４ ,求 x ２ x４＋x２＋１ 的值． 解:因为x ４＋x２＋１ x２ ＝x ２＋１＋ １ x２＝ (x＋ １ x )２－２＋１＝ ４２－２＋１＝１５,所以 x２ x４＋x２＋１＝ １ １５ 类型之四　裂项法 ７．观察下面的变形规律: １ １×２＝１－ １ ２ ;１ ２×３＝ １ ２－ １ ３ ;１ ３×４＝ １ ３－ １ ４ ;􀆺 解答下面的问题: (１)若n为正整数,请你猜想 １ n(n＋１)＝　 １ n－ １ n＋１　 ; (２)验证你猜想的结论; (３)求和: １ １×２＋ １ ２×３＋ １ ３×４＋ 􀆺＋ １ ２０１６×２０１７＋ １ ２０１７×２０１８． 解: (２) 验 证: １ n － １ n＋１＝ n＋１ n(n＋１) － n n(n＋１) ＝ n＋１－n n(n＋１)＝ １ n(n＋１)　 (３)原式＝１－ １ ２＋ １ ２－ １ ３＋ １ ３－ １ ４＋ 􀆺＋ １ ２０１６－ １ ２０１７＋ １ ２０１７－ １ ２０１８＝１－ １ ２０１８＝ ２０１７ ２０１８ １８ 类型之五　特殊值法 ８．已知abc≠０,a＋b＋c＝０,求a( １ b＋ １ c )＋b( １ c＋ １ a )＋ c( １ a＋ １ b )的值． 解:由已知不妨设a＝１,b＝１,c＝－２,则原式＝(１－ １ ２ )＋(－ １ ２＋１ )－２(１＋１)＝－３ 类型之六　参数法 ９．已知 x ２＝ y ３＝ z ４≠０ ,求x＋２y－３z ２x－３y＋z 的值． 解:设x ２＝ y ３＝ z ４＝k ,则x＝２k,y＝３k,z＝４k,所以 原式＝ ２k＋６k－１２k ４k－９k＋４k ＝ －４k －k ＝４ 类型之七　常数代入法 １０．若abc＝１,求 a １＋a＋ab＋ b １＋b＋bc＋ c １＋c＋ca 的值． 解:原式＝ ac c＋ac＋abc＋ b abc＋b＋bc＋ c １＋c＋ca＝ ac c＋ac＋１＋ １ ac＋１＋c＋ c １＋c＋ca＝ ac＋１＋c c＋ac＋１＝１ １１．已知a,b 为实数,且ab＝１,设 M＝ a a＋１＋ b b＋１ , N＝ １ a＋１＋ １ b＋１ ,请通过求 M,N 的值比较 M,N 的大小． 解:因为 M＝ a a＋１＋ b b＋１＝ a a＋ab＋ b b＋１＝ １ b＋１＋ b b＋１＝１ ,N＝ １ a＋１＋ １ b＋１＝ ab a＋ab＋ １ b＋１＝ b b＋１＋ １ b＋１＝１ ,所以M＝N 类型之八　构造特殊式子代入法 １２．已知a,b,c均不等于０,且a＋b＋c＝０,求a( １ b＋ １ c )＋b( １ a＋ １ c )＋c( １ a＋ １ b )的值． 解:a( １ b＋ １ c )＋b( １ a＋ １ c )＋c( １ a ＋ １ b )＝a( １ a ＋ １ b＋ １ c )＋b( １ a ＋ １ b ＋ １ c )＋c( １ a ＋ １ b ＋ １ c )－３＝ (１ a＋ １ b＋ １ c )(a＋b＋c)－３＝０－３＝－３ １３．已知 a＋b a－b＝ １ ３ ,求分式 ab a２＋b２ 的值． 解:因为a＋b a－b＝ １ ３ ,所以３(a＋b)＝a－b,所以a＝ －２b,所以 ab a２＋b２＝ －２b􀅰b (－２b)２＋b２＝－ ２b２ ５b２＝－ ２ ５ ２８ $