专题02平面向量基本定理及坐标表示（知识点串讲）- 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（人教A版2019）

专题02平面向量基本定理及坐标表示 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 【基础知识点一】平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使． 我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 温馨提示 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．，是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都共线，因此零向量不能作为基底中的向量． 【基础知识点二】平面向量的坐标运算 （1）加法运算 若，，则． 即两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和． （2）减法运算 若，，则． 即两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差． （3）数乘运算 若，则． 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． （4）向量坐标的求法 若，，则． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 【基础知识点三】平面向量共线的坐标表示 设，，其中．若向量共线，则存在唯一的实数，使得．用坐标表示为，即消去，得．这就是说，当且仅当时，向量共线． 温馨提示 （1）平面向量共线的坐标表示还可以写成，因此两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． （2）当时，，此时也成立，可推理得出对任意向量都有：． 知识拓展 三点共线的充要条件 （1）若为原点，，，为平面内三点，则，，三点在一条直线上的充要条件是，且，． 【基础知识点四】平面向量数量积的坐标表示 设分别为与轴、轴方向相同的单位向量，即，，设为两个非零向量，，， 因为， 所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 温馨提示 ①公式与都是用来求两向量的数量积的，没确本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式求解． ②当时，；当时，；当时，．可以用该结论判断夹角的范围、三角形的形状等． 【必知必会题型深度讲解】 【必知必会题型一】平面向量基本定理及应用 【解题方法】 考查角度 （1）用基底表示向量； （2）利用平面向量基本定理求参数； （3）利用平面向量基本定理求解平面几何问题 常用解法 （1）用基底表示向量的两种基本方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种： 一种是运用向量的线性运算对待求向量不断转化，直至可以用基底表示为止； 另一种是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. （2）求参数的基本思路 利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基底表示两次，然后利用系数相等列方程（组）求解，即对于基底，若，且，则有. （3）向量法解几何问题的一般思路 用向量法解决几何问题时，可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量用基底表示，把几何问题转化为向量问题，通过向量运算，再将向量问题转化为几何问题，即几何→向量→几何，其中平面向量基本定理是基础. 【天津市河北区2020-2021学年高一下学期期中】如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B . 故选：B 1．【甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】中，为边上一点，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A ，则，解得， 故选：A. 2．【山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末】如图，在矩形中，分别为和上的中点，若，其中则的值为_______． 【答案】 由题意，， 因为,, 所以两式相加得，, 所以， 得，所以， 故答案为：． 3．【江西省景德镇一中2020-2021学年高一上学期期末】已知正△ABC的边长为2，，则=_______________； 【答案】 正△ABC的边长为2， , ， 故答案为： 4．如图，在中，延长到，使，在上取点，使，设，，用、表示向量、. 【答案】，. ， . 【必知必会题型二】向量共线的坐标表示 【解题方法】 考查角度 （1）向量共线的判定与证明； （2）利用向量共线的坐标表示求参数的值. 常用解法 （1）向量共线的判定方法 ①由推出. ②利用向量共线的坐标表达式，其中直接判断与是否平行. （2）根据向量共线的条件求参数问题的两种思路 ①由列方程组求解 ②利用向量共线的坐标表达式求解. 【山东省德州市2020-2021学年高一上学期期末】已知向量，，.若，则实数（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 解：因为，， 所以， ， ， 解得． 故选：． 1．已知、，且、