福建省泉州科技中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题

泉州科技中学2020—2021学年度第二学期期中考 高一年 数学试卷 命题：高二数学备课组 审核教师： 注意事项：①本试卷分第I卷、第II卷两部分，共150分，考试时间120分钟． ②选择题、填空题答案表在答题卡中，请按要求作答． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 设向量，，则    A. B. C. D.与的夹角为 2. 若复数为纯虚数，则的值为    A. 1 B. C. i D. 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为    A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D在BC边上，，，，则sinB的值为    A. B. C. D. 5. 在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为，，则，在长方体中，对角线与棱AB，AD，所成的角分别为，，，与平面AC，平面，平面所成的角分别为，，，则下列说法正确的是    ； ； ； ． A. B. C. D. 6. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，E为BF的中点，则 A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若该三棱锥的体积是，则球O的表面积是    A. B. C. D. 8. 在中，，，，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为    A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 9. 设向量，则下列叙述错误的是    A. 若，则与的夹角为钝角 B. 的最小值为2 C. 与垂直的单位向量为 D. 若，则 10. 已知复数， 为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是    A. 对应的点在复平面的第二象限 B. C. 的实部为 D. 的虚部为 11. 对于，有如下命题，其中错误的是    A. 若，则为锐角三角形 B. 若，，B=30°，则的面积为 C. P在所在平面内，若，则P是的重心 D. 若，则为等腰三角形 12. 如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点E为棱上任意一点，则下列结论正确的是    A. 直线与直线BE所成角的范围是 B. 在棱上存在一点E，使平面 C. 若E为棱的中点，则平面ABE截三棱柱所得截面面积为 D. 若F为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设复数，则           ． 14. 已知向量，，若，则_____． 15. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，现有如下四个结论： 平面 三棱锥的体积为定值 异面直线AE，BF所成的角为定值． 其中正确结论的序号是          ． 16. 已知三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 如图，在中，，E是的中点，设，． （Ⅰ）试用，表示； （Ⅱ）若，，且与的夹角为，求． 18. 从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答    在中，角所对的边分别为满足条件______ （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，，求b的值． 注：第一问多种选择作答按照第一种选择解答判分 19. 如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点． （Ⅰ）求证：平面ABC． （Ⅱ）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面并说明理由． 20. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F为AD，PC的中点．  （Ⅰ）求证：平面BEF； （Ⅱ）求证：． 21. 某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，，，在E处安装路灯，且路灯的照明张角已知． （Ⅰ）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN； （Ⅱ）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值． 22. 如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． （Ⅰ）证明G是AB的中点； （Ⅱ）在答题卡第22题图中作出