专题04 特殊的平行四边形与平面直角坐标系、函数-2020-2021学年八年级数学下学期期末压轴题分类专项突破（人教版）

专题04特殊的平行四边形与平面直角坐标系、函数 一、解答题 1．在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在x轴、y轴上，点 ，点 ，且m、n满足 ． （1）填空：矩形 是__________，点B的坐标为_________； （2）如图1，点D为第一象限内一动点，连 、 、 ， ，试探究线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，点F在线段 上，连 ，作 于M， 于N．当F在线段 上运动时（不与O、A重合）， 的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值． 【答案】（1）正方形，（2，-2）；（2） CD=BD-OD；（3）不变，值为1． 【解析】 （1）根据非负性解方程，可得m、n的值，根据m、n的值，可得答案； （2）根据三角形的内角和，可得∠DOC与∠QBC的关系，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得DC与CQ的关系，根据等式的性质，可得∠DCQ的度数，根据勾股定理，可得答案； （3）根据矩形的判断与性质，可得AN与GM的关系，根据同角的余角相等，可得∠OAG与∠BAN的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得GO与BN的关系，根据等量代换，可得答案．解：（1）∵ ， ∴m=-2，n=2， ∴A（0，-2）、C（2，0）； ∴OC=OA， ∴矩形OABC是正方形， ∴点B的坐标是（2，-2） （2）如图1在BD上截取BQ=OD，连接CQ， ∵矩形OABC是正方形， ∴OC=OB，∠OCB=90° ∵BD⊥OD， ∴∠BOD=90°， ∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1=∠2， ∠DOC=∠QBC， 在△DOC和△QBC中 ， ∴△CDO≌△CQB（SAS）， ∴CD=CQ，∠DCO=∠QCB， ∴∠DCO+∠OCQ=∠QCB+∠OCQ， ∴∠DCQ=∠OCB=90°， 在Rt△DCQ中，由勾股定理得：CD2+CQ2=DQ2， ∴2CD2=DQ2， ∴ CD=DQ， ∴ CD=BD-BQ， ∴ CD=BD-OD； （3） 的值不变，理由如下： 过A点作AG⊥OM的延长线于G，如图中的图2 ∵OM⊥BF，AN⊥BF，AG⊥OM， ∴四边形MGAN是矩形， ∴AN=MG，∠OGA=∠GAN， ∴∠1+∠2=∠2+∠3， ∴∠1=∠3， 在△OGA和△BNA中 ， ∴△OGA≌△BNA（AAS）， ∴OG=BN， ∴OM+MG=BN， ∴OM+AN=BN， ∴ ＝1． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，余角的性质． 2．如图1所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，其中点 、 ． （1）求C点的坐标； （2）如图2，E是AD上一点，且AE＝ ，P是AC上一动点，求 的最小值； （3）如图3，动点Q从点B出发，以每秒 个单位长度的速度，沿折线 在菱形的两边上匀速运动，设运动时间为 秒． 若点Q到BD的距离是 ，则 ＝ ． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 【解析】 （1）利用菱形的性质将Rt 的三边分别表示出来，利用勾股定理求出即可； （2）根据将军饮马可知作点 的对称点 ，当D、P、 三点共线时， 最小，利用勾股定理求出 的值，即可求出 的最小值； （3）根据题意可知，Q点在BC中点和CD中点时，点Q到BD的距离是 ，分情况讨论即可．解：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，设AO＝x， 则AB＝ ＝AD， 在Rt 中， ， 即 ， 解得 ，DC＝AB＝ ， ∴ ； （2）∵四边形ABCD为菱形，AC为∠DAB的角平分线， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴点E关于AC的对称点 在AB上， 且 ， ， 连结 ， ∴当D、P、 三点共线时， 最小，且值为 ， ， 即为所求最小值为 ； （3）易知Q点越靠近C点，距离DB越远， 最大距离为 , 且点Q到BD的距离是匀速变大或变小的， 时，距离由0增大到 ， 时，距离由 减小到 ， ∴Q点在BC中点和CD中点时，符合要求， 由（1）可知菱形边长为 ， ∴当运动到BC中点时，运动了 个单位， ， 当运动到CD中点时，运动了 个单位， ， 故答案为： 或 ． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、将军饮马、勾股定理等知识点，需要注意在（3）中，要分情况讨论． 3．在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b，0)，D(c，0)， ＋ c2﹣4c＋4＝0，b为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交 x轴于点F． （1）求A，B，D的坐标； （2）在y轴上是否存在点G使得GF＋GE有最小值？如果存在，求出GF＋GE的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）如图