专题03 特殊的平行四边形（情景探究类）-2020-2021学年八年级数学下学期期末压轴题分类专项突破（人教版）

专题3特殊的平行四边形（情景探究类） 一、解答题 1．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系． 小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ． （2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由； （3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”） 拓展应用： 将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长． 2．若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”． 问题探究： （1）如图①，在 中， ，画出经过点 的 的“和谐线段”； （2）如图②，在 中， ， ， ，请求出 的两条“和谐线段”的长； 问题解决： （3）如图③，四边形 是某市规划中的商业区示意图，其中 ， ， ， ，现计划在商业区内修一条笔直的单行道 （小道的宽度不计，入口 在 上，出口 在 上，使得 为四边形 的“和谐线段”，在道路一侧 区域规划为公园，为了美观要求 是以 为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点 的位置（即求 的长）． 3．背景：在数学课堂上，李老师给每个同学发了一张边长为 的正方形纸片，请同学们纸片上剪下一个有一边长为 的等腰三角形，要求等腰三角形的三个顶点都落在正方形的边上，且其中一个顶点与正方形的顶点重合，最终，通过合作讨论，同学们一共提供了5种不同的剪法（若剪下的三角形全等则视为同一种）． 注：正方形的每条边都相等，每个角都等于90°． （1）如图1是小明同学率先给出的剪法，其中 即为满足要求的等腰三角形，则小明同学剪下的三角形纸片的面积为______． （2）如图2是小王同学提出的另一种剪法，其中 ，且 ，请帮助小王同学求出所得等腰 的腰长； （3）请在下列三个正方形中画出其余的三种剪法，并直接写出每种剪法所得的三角形纸片的面积．（注：每种情况的图和对应的面积都正确才得分） 面积 　　面积 　　面积 　　 4．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． （1）概念理解：如图1，在 和 中， ，说明 和 是共边直角三角形． （2）问题探究：如图2， 和 是共边直角三角形，E、F分别是 、 的中点，连结 ，求证 ． （3）拓展延伸：如图3， 和 是共边直角三角形，且 ，连结 ，求证： 平分 ． 5．阅读理解： （1）如图，在 中， 是的 边上的中线， ． 求证： 是直角三角形． 证明：∵ 是 边上的中线， ∴ ． ∵ ， ∴ ∴ ① 同理， ∵ ② ∴ ③ ∴ 是直角三角形． （2）灵活应用： 如图，在 中， ， ， ，点D是 的中点，过点D作 的垂线 交 于点E，在这条垂线上有一动点P，恰好使得 是以 为斜边的直角三角形，求此时 的长． （3）应用拓展：如图，正三角形 ，D为 延长线上一点，且 ，点M为 所在平面上一点， 是以 为斜边的直角三角形， 为等腰三角形，求此时 顶角的度数（直接写出答案） 6．问题背景 若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形 中， 是一条对角线， ， ，则点 与点 关于 互为顶针点；若再满足 ，则点 与点 关于 互为勾股顶针点． 初步思考 (1)如图2，在 中， ， ， 、 为 外两点， ， ， 为等边三角形． ①点 与点______关于 互为顶针点； ②点 与点______关于 互为勾股顶针点，并说明理由． 实践操作 (2)在长方形 中， ， ． ①如图3，点 在 边上，点 在 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点 、 ，使得点 与点 关于 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究 ②如图4，点 是直线 上的动点，点 是平面内一点，点 与点 关于 互为勾股顶针点，直线 与直线 交于点 ．在点 运动过程中，线段 与线段 的长度是否会相等？若相等，请直接写出 的长；若不相等，请说明理由．