专题01 特殊的平行四边形（传统解答证明题）-2020-2021学年八年级数学下学期期末压轴题分类专项突破（人教版）

专题01特殊的平行四边形（传统解答证明题） 一、解答题 1．如图①，已知正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点（点 ， 不与端点重合），且 ， ， 交于点P，过点 作 交 于点 ． （1）求证： ． （2）若 ，试求线段 的长． （3）如图②，连接 并延长交 于点 ，若点 是 的中点，试求 的值． 2．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于F，以 为邻边作平行四边形 ． （1）证明平行四边形 是菱形； （2）若 ，连结 ， ①求证： ； ②求 的度数； （3）若 ， ， ，M是 的中点，求 的长． 4．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上． （1）如图1，DE⊥FG，求证：BF＝AE+AG； （2）如图2，DE⊥DF，P为EF中点，求证：BE＝ PC； （3）如图3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为　 　． （1）见解析；（2）见解析；（3） （1）作GM⊥BC于M．证△DAE≌△GMF，得AE＝FM，AG＝BM．所以BF＝AE+AG． （2）作EQ∥CP交BC于Q．证EQ＝2CP，EQ＝ BE可得BE＝ CP． （3）作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，得BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，延长DC到P，使CP＝AM＝2，证△BAM≌△BCP得∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，再证△MBN≌△PBN得MN＝PN，设CN＝x，则MN＝PN＝CN+PC＝x+2，DN＝4﹣x，在Rt△DMN中，由DM2+DN2＝MN2求得x＝ ，再在△BCN中利用勾股定理求解可得． 解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M， 则∠GMB＝∠GMF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABMG是矩形， ∴AG＝BM， ∵DE⊥GF， ∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DGF， 又∠DGF＝∠MFG， 5．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF； （2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长． 6．在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连接AF、BE交于一点H．（友情提醒：正方形的四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四个内角都是90°，即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°） （1）如图①，若△ADE和△DCF是等边三角形，求证：AF＝BE，AF⊥BE； （2）如图②，若△ADE和△DCF为一般三角形，其中AE＝DF，ED＝FC，则第（1）问中的结论 AF＝BE仍然成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 7．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG． （1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ ； （2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长； （3）若AG＝ ，请直接写出此时DE的长． （1）5 ；（2） ；（3） 或 ． （1）如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG（SAS），可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得AG的长； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长； （3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG（AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论． （1）如图1，连接CG， ∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG， ∴∠CBG＝45°， ∴∠CBG＝∠CBD， ∵BC＝BC， ∴△CBD≌△CBG（SAS）， ∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5， ∴G，C，D三点共线， 8．如图，在矩形 中， ， ，点 在 的延长线上，点 在 上，且有 ． （1）如图1，当 时，若 ，求证： ； （2）如图2，当 时， ①请直接写出 与 的数量关系：_________； ②当点 是 中点时，求证： ； ③在②的条件下，请直接写出 的值． 9．在数学的学习中，有很多典型的基本图形． （1）如图①， 中， ， ，直线 经过点 ， 直线 ， 直线 ，垂足分别为 、 ．试说明 ； （2）如图②， 中， ， ，点 、 、