专题01 平面向量的概念与运算（知识点串讲） - 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（人教A版2019）

专题01平面向量的概念与运算 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 【基础知识点一】向量的基本概念 向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量，记作：或 向量的模 向量的大小叫做向量的长度（或称模），记作：或 零向量 长度为0的向量叫做零向量．零向量的方向是任意的 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． 平行向量也叫共线向量 单位向量 长度为1个单位的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 温馨提示 （1）零向量的方向是任意的，． （2）规定：零向量与任一向量平行． （3）向量与是一对相反向量，记作． （4）任一向量和它的相反向量的和是零向量． （5）两个向量相等，与向量起点的位置无关． （6）向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． （7）在平面内，若将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆． 【基础知识点二】向量的线性运算 1、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量以及任意实数，，，恒有． 2、向量加法的三角形法则 定义：如图，已知非零向量，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即，这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则． 3、向量加法的平行四边形法则 定义：如图，已知两个不共线向量，在平面内任取一点，以为起点作，，则、、不共线，以为邻边作，则以为起点的对角线向量就是的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4、向量减法的三角形法则 已知非零向量，如图，在平面内任取一点，作，，连接，则．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，这是向量减法的三角形法则，即向量减法的几何意义． 【基础知识点三】共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使． 温馨提示 （1）定理中不能漏掉．若，则实数可以是任意实数；若，则不存在实数，使得． （2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数，，使，则共线；若两个非零向量不共线，且，则必有． （3）共线向量定理主要用来证明两条直线平行、三点共线，通过定理把两条直线平行、三点共线这样的几何问题转化为寻找实数的代数问题即可． 【基础知识点四】向量的数量积 已知两个非零向量，我们把数量叫做的数量积（或内积），记作，即，其中是的夹角． 我们规定，零向量与任一向量的数量积为0． 温馨提示 ①两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． ②在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是． ③在书写两个向量的数量积时，中间的点乘不能省略不写，这种写法是错误的， ④当同向时，；当反向时，；当垂直时，． ⑤． 【基础知识点五】平面向量数量积的运算律 （1）交换律 ． （2）结合律 ． （3）分配律 . （4）应用运算律得到的两个重要结论 ， . 【必知必会题型深度讲解】 【必知必会题型一】向量的线性运算 【解题方法】 考查角度 （1）用已知向量表示相关向量； （2）向量的线性运算. 常用解法 （1）用已知向量表示相关未知向量的基本思路 用已知向量表示相关未知向量时，要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的两个向量或首尾相接的两个向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为已知向量. （2）向量线性运算的基本方法 ①类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. ②方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律简化运算. 【天津市南开中学2020-2021学年高一下学期期中】在平行四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解：因为四边形为平行四边形， 所以, 所以， 故选：D 1．下列各式中，不能化简为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 对于A: ; 对于B: ; 对于C: ; 对于D: . 故选：A 2．＝_______． 【答案】 根据向量的运算法则，可得： . 故答案为：. 3．【天津市红桥区2019-2020学年第二学期高一期中】计算：__________． 【答案】 由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得. 故答案为：. 4．点在内部且满足，则的面积与凹四边形的面积之比为__________