专练12（二次函数压轴题）（30）-2021年中考数学考点必杀500题（湖南长沙专用）

2021中考考点必杀500题 专练12（二次函数压轴题）（30道） 1．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）如图，二次函数与轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且，∠BAC的角平分线交于点D，过D点的直线与射线AB，AC分别交于E，F． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，证明：当直线绕点D旋转时，为定值，并求出该定值； （3）如图2，在第一象限的抛物线存在点P，使得，请求出点P的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式：（2）证明见解析，值为：（3）点P坐标． 【分析】 （1）通过设，则，，对称轴得到①，将A,B点坐标代入解析式：，①②③即可求a,b,c得到答案． （2）过D点作DG//x轴，交线段AC于G点，过F点作FT//OA，交射线AD于T点，过C点作CQ//OA，交射线AD于Q点，根据相似三角形性质结合双A型模型求出、即可解答． （3）利用三垂直模型构造以AC为直角边、∠ACS=90°，的△ACS，则P在以AS为直径的圆上，再求出抛物线到圆心的距离等于半径的点坐标即可解答． 【详解】 解：（1）设， ∵ ∴ ∴，对称轴 ∴① 将A,C点坐标代入解析式： ∴①②③联立得： ∴抛物线解析式：． （2）如图，过D点作DG//x轴，交线段AC于G点，过F点作FT//OA，交射线AD于T点，过C点作CQ//OA，交射线AD于Q点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵CQ//x轴， ∴∠Q=∠QAO， 又∵， ∴， ∴AC=CQ， ∴， 同理可得：， 由①知：，， ∴利用勾股定理得：， ∴， ∴， ∴为定值，为： （3）如解（3）图，过C点作CS⊥AC，在CS上取S点，取CS=2AC，则，故P点在以AS为直径的圆上， ∵，∴，， 过C点作ML⊥y轴，过点A、点S作ML的垂线AM、SL，垂足分别为M、L， ∴∠MAC=∠SCL， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点S坐标为（6，-1）， 又∵点A坐标为（-1，0） ∴取AS中点R，点R坐标为，即 设，则， 整理得：， ∴，，，， ∵当时，故舍去， ∵当时，， ∴． 【点睛】 本题考查了相似三角形与二次函数的的知识，是一道综合性的压轴题，能熟练掌握相似变换以及构造适当的三角形转化线段关系是解答此题的关键． 2．（2021·湖南长沙市·九年级一模）如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P(a，b)，则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）＋b，即当x＝a时，y始终等于b． （1）若抛物线y＝﹣2（x＋1）2＋3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式； （2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx＋3k﹣2，求该抛物线的解析式； （3）如图2，直线m：y＝x＋3与直线n：y＝﹣2x＋9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2＋1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式． 【答案】（1）y=-2x+1；（2）y=-（x+3）2-2；（3）y= -x+3或y=1． 【分析】 （1）先求出点A的坐标，再确定P的坐标为（-1,3），然后将A点坐标代入求解即可； （2）y=kx+3k-2=k（x+3）-2，确定点P的坐标为（-3，-2），然后求出解析式即可； （3）由△ABC的面积=S△APB+S△APC=12，求出xC-xB=6，则点xB（t,t+3），xC（t+6，-2t-3），将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1求解即可． 【详解】 解：（1）∵y=-2（x+1）2+3， ∴令x=0，则y=1， ∴点A的坐标为（0,1），顶点P的坐标为（-1,3）， ∴风车线的表达式为y=k（x+1）+3， 将点A的坐标代入并求解得：k=-2 ∴“风车线”的解析式为y=-2（x+1）+3=-2x+1； （2）∵y=kx+3k-2=k（x+3）-2 ∴点P的坐标为（-3，-2）， ∴平移后的抛物线表达式为y=-（x+3）2-2； （3）∵y=-2（x-2）2+1， ∴点P（2，1），即“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1， 联立，解得，故点A（2，5）， ∴AP=5-1=4， ∴△ABC的面积=S△APB+S△APC=×4×（xC-xB）=12，解得：xC-xB=6， 设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6， ∵点B在直线m上， ∴点B（t，t+3）， 同理：点C（t+6，-2t-3）， 将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1， 得： 解得或 ∴“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1=-（x-2）+1=-x+3或y=1． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、面积的计算