统计案例 复习导航-【数理报】2020-2021学年高中数学选修2-3《巩固提高一本通》(人教A版)

书书书 要点精析 （一）回归分析的基本思想及其初步应用 １．线性回归分析 利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的 变量进行研究的步骤为：①画出两个变量的散点图；② 求回归直线方程；③用回归直线方程进行预报．其中求 回归直线方程是关键．而对于线性回归模型 ｙ^＝ｂｘ＋ａ 来说，估计模型中的未知参数ａ和ｂ的最好方法就是利 用最小二乘法． ２．比较两个不同回归模型的拟合效果 在回归分析中，通常是通过残差分析来判断回归 模型的拟合效果．残差分析的基本方法是由回归方程 作出残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错 误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差 点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模 型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的 拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．也可以进一 步通过相关指数Ｒ２来衡量回归模型的拟合效果，一般 规律是Ｒ２越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟 合效果越好． （二）独立性检验的基本思想及其初步应用 在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题． 在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿作 出结论，需要通过试验来收集数据，并依独立性检验的 原理作出合理的推断，这就是独立性检验的基本思想． 依据这一思想，我们可以考察两个分类变量Ｘ和Ｙ是否 有关系，并且能给出这种判断的可靠程度．其具体做法 是：先利用三维柱形图或二维条形图粗略地判断两个 分类变量是否有关系，再利用公式计算Ｋ２的值，比较与 临界值的大小关系来判定变量 Ｘ与 Ｙ是否有关．当 Ｋ２ 的值很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为两个 变量没有关系． 题型解析 类型一：回归直线方程的求解 例１观察两个相关变量的如下数据： ｘ －９ －６．９９－５．０１－２．９８ －５ ５ ４．９８ ４ ｙ －９ －７ －５ －３ －５．０２４．９９ ５ ４．０３ 则两变量间的回归直线方程为 （　　） （Ａ）ｙ^＝０．５ｘ＋１　　　　（Ｂ）ｙ^＝ｘ （Ｃ）ｙ^＝２ｘ＋０．３ （Ｄ）ｙ^＝ｘ＋１ 解析：因为ｘ＝－１．８７５，ｙ＝－１．８７５， 又因为回归直线经过点（ｘ，ｙ），验证知选（Ｂ）． 点评：（ｘ，ｙ）称为样本点的中心，回归直线一定过 此点． 类型二：线性相关关系强弱的判断 例２关于两个变量ｘ和ｙ的７组数据如下表所示： ｘ ２１ ２３ ２５ ２７ ２９ ３２ ３５ ｙ ７ １１ ２１ ２４ ６６ １１５ ３２５ 试判断ｘ与ｙ之间是否有线性相关关系？ 解析：计算得 ｘ≈ ２７．４３，ｙ≈ ８１．２９，∑ ７ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝ ５４１４，∑ ７ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝１８５４２，∑ ７ ｉ＝１ ｙ２ｉ ＝１２４３９３， 则ｒ＝ ∑ ７ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－７ｘｙ （∑ ７ ｉ＝１ ｘ２ｉ－７ｘ ２）（∑ ７ ｉ＝１ ｙ２ｉ－７ｙ ２ 槡 ） ＝ １８５４２－７×２７．４３×８１．２９ （５４１４－７×２７．４３２）×（１２４３９３－７×８１．２９２槡 ） ≈０．８６＞０．７５， 所以ｘ与ｙ具有线性相关关系． 点评：如果｜ｒ｜大于０．７５，我们认为ｘ与ｙ有很强 的线性相关关系，这时求回归直线方程有必要也有意 义，否则，在｜ｒ｜＜０．７５时，寻找到的回归直线方程就 没有意义． 类型三：线性回归问题 例３某工业部门进行一项研究，分析该部门的产 量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了１０ 个企业为样本，有如下资料： ｘ ４０ ４２ ４８ ５５ ６５ ７９ ８８１００１２０１４０ ｙ １５０１４０１６０１７０１５０１６２１８５１６５１９０１８５ 其中ｘ为产量（千件），ｙ为生产费用（千元）． （１）ｙ与ｘ是否具有相关关系？ （２）如果ｙ与ｘ具有相关关系，求回归直线方程． 解析：（１）计算得ｒ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）槡 ２ ≈０．８０８＞０．７５． 说明ｙ与ｘ具有较强的线性相关关系． （２）由（１）知ｙ与ｘ具有线性相关关系，设回归直 线方程为 ｙ^＝ｂ^ｘ＋ａ^． 利用计算器进行计算得：ｘ＝７７．７，ｙ＝１６５．７， ｂ^＝ ∑ １０ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ １０ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２ ≈０．３９８， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ≈１３４．８． 所以回归直线方程为 ｙ^＝０．３９８ｘ＋１３４．８． 点评：解决本题首先要判断两变量是否具有线性 相关关系，然后再求回归直线方程． 类型四：非线性回归分析 例４下表是１９５７年美国旧轿车价格的调查资料， 今以ｘ表示轿车的使用年数，ｙ表示相应的平均价格，求 ｙ关于ｘ的回归方程． 使用年数ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 平均价格 ｙ（美元） ２６５１１９４３１４９４１０８７７６５５３８４８４２９０２２６