统计案例 复习导航-【数理报】2020-2021学年高中数学选修2-3《巩固提高一本通》(北师大版)

书书书 要点精析 一、回归分析 １．回归分析是处理变量之间相关关系的一种统计 方法，若两个变量之间具有线性相关关系，则称相应的 回归分析为线性回归分析． ２．样本相关系数 具有相关关系的两个变量之间关系的强弱是通过 相关系数ｒ来衡量的，当 ｒ＞０时，表明两个变量正相 关；当ｒ＜０时，表明两个变量负相关．｜ｒ｜越接近于１， 表明两个变量的线性相关性越强；｜ｒ｜越接近于０，表 明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． ３．线性回归方程 ｙ＝ ｂｘ＋ａ，其中 ｂ ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２ ，ａ＝ｙ－ｂｘ．回归直线经过样本点 的中心（ｘ，ｙ）． 二、独立性检验 １．独立性检验的思想 独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法， 要确认“两个分类变量有关系”这个结论的可信程度， 首先要假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量 没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量χ２应该很 小，如果由观测数据求得χ２的值很大，则在一定程度上 说明假设不合理，然后根据随机变量χ２的含义，通过查 阅临界值的估计来评价假设不合理即“两个分类变量 有关系”成立的可信程度． ２．独立性检验的操作步骤 （１）找相关数据，作列联表；（２）求 χ２ ＝ ｎ（ａｄ－ｂｃ）２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）（ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）； （３）判断可能性，根据观测数据计算出的 χ２的值进行 判断． 题型解析 类型一：回归直线方程的求解 例１观察两个相关变量的如下数据： ｘ －９ －６．９９－５．０１－２．９８ －５ ５ ４．９８ ４ ｙ －９ －７ －５ －３ －５．０２４．９９ ５ ４．０３ 则两变量间的回归直线方程为 （　　） （Ａ）ｙ＝０．５ｘ＋１　　　　（Ｂ）ｙ＝ｘ （Ｃ）ｙ＝２ｘ＋０．３ （Ｄ）ｙ＝ｘ＋１ 解析：因为ｘ＝－１．８７５，ｙ＝－１．８７５， 又因为回归直线经过点（ｘ，ｙ），验证知选（Ｂ）． 点评：（ｘ，ｙ）称为样本点的中心，回归直线一定过 此点． 类型二：线性相关关系强弱的判断 例２关于两个变量ｘ和ｙ的７组数据如下表所示： ｘ ２１ ２３ ２５ ２７ ２９ ３２ ３５ ｙ ７ １１ ２１ ２４ ６６ １１５ ３２５ 试判断ｘ与ｙ之间是否有线性相关关系？ 解析：计算得 ｘ≈ ２７．４３，ｙ≈ ８１．２９，∑ ７ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝ ５４１４，∑ ７ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝１８５４２，∑ ７ ｉ＝１ ｙ２ｉ ＝１２４３９３， 则ｒ＝ ∑ ７ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－７ｘｙ （∑ ７ ｉ＝１ ｘ２ｉ－７ｘ ２）（∑ ７ ｉ＝１ ｙ２ｉ－７ｙ ２ 槡 ） ＝ １８５４２－７×２７．４３×８１．２９ （５４１４－７×２７．４３２）×（１２４３９３－７×８１．２９２槡 ） ≈０．８６＞０．７５， 所以ｘ与ｙ具有线性相关关系． 点评：如果｜ｒ｜大于０．７５，我们认为ｘ与ｙ有很强 的线性相关关系，这时求回归直线方程有必要也有意 义，否则，在｜ｒ｜＜０．７５时，寻找到的回归直线方程就 没有意义． 类型三：线性回归问题 例３某工业部门进行一项研究，分析该部门的产 量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了１０ 个企业为样本，有如下资料： ｘ ４０ ４２ ４８ ５５ ６５ ７９ ８８１００１２０１４０ ｙ １５０１４０１６０１７０１５０１６２１８５１６５１９０１８５ 其中ｘ为产量（千件），ｙ为生产费用（千元）． （１）ｙ与ｘ是否具有相关关系？ （２）如果ｙ与ｘ具有相关关系，求回归直线方程． 解析：（１）计算得ｒ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）槡 ２ ≈０．８０８＞０．７５． 说明ｙ与ｘ具有较强的线性相关关系． （２）由（１）知ｙ与ｘ具有线性相关关系，设回归直 线方程为ｙ＝ｂｘ＋ａ． 利用计算器进行计算得：ｘ＝７７．７，ｙ＝１６５．７， ｂ＝ ∑ １０ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ １０ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２ ≈０．３９８， ａ＝ｙ－ｂｘ≈１３４．８． 所以回归直线方程为ｙ＝０．３９８ｘ＋１３４．８． 点评：解决本题首先要判断两变量是否具有线性 相关关系，然后再求回归直线方程． 类型四：非线性回归分析 例４下表是１９５７年美国旧轿车价格的调查资料， 今以ｘ表示轿车的使用年数，ｙ表示相应的平均价格，求 ｙ关于ｘ的回归方程． 使用年数ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 平均价格 ｙ（美元） ２６５１１９４３１４９４１０８７７６５５３８４８４２９０２２６２０４ 解析：由图１的散点图可看出ｙ与ｘ呈指数关系，于 是令ｚ＝ｌｎｙ，变换后得数据： ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ｚ７８８３７５７２７３０９６９９１６６