思想方法-【数理报】2020-2021学年高中数学必修4《巩固提高一本通》(北师大版)

高中数学·北师大(必修4)复习专号 思想方法3 解:由题意可知A=(2 BC 所以函数f(x)的最小正周期 所以1BD|=3,故直径为2 则cl的最大值等于2,故选(A) (1)当A=99时,则有宿花且宿=1,(2)当x=[]时,-∈[,3 例9已知向量a≠e,el=1,对任意的t∈ 2+k=0, 因此 解得k=-2 所以sin(2x-m 恒有1a-lel≥la-el,则 (2)当B=90时,则有AB⊥BC,且AB1=1BC1 所以只需1>m-3,解得 (B)a⊥(a-e 即m的取值范围为(-∞,4) 因此 解得k=3 例14设A,B,C,D是平面上任意四点,求证:AC2 (D)(a+e)⊥(a-e) +1=√1+(k-1)2, 分析:将向量的垂直关系转化为解析几何问题,取 (3)当C=时,则有B⊥AC,且BC=花1BD2+AD+BC≥AB2+CD 解:设AB=b,AC=c,AD=d 为x轴上的单位向量,再根据选项画出其它相关向量, 1+k(1-k)=0 此时无解则AC12+B12+B2+BC12-A2-1C 依据题设条件结合其图形对选项进行甄别 1+(1-k) 在(0,1)内取值时,a-el<a-el,故(A)不成立;角三能下知,当k=-2或k=3时,△ABC为等腰政=c2+(d-b)2+d+(e-b)2-b2-(d-c) 解:对于选项(A),取a⊥e,如图4-1所示,易知t c2+d2+b2-2b·d-2b·c+2c·d 十于选项(B),取a⊥(a-e),如图4-2所示,易例2已知在同一平面内的向量a与b垂直,向量c 所以AC2+BD2+AD2+BC2≥AB2+CD2 知t在(0,1)内取值时,1a-lel=la-el不一定成与向量a的夹角为60°,且al=1,b1=3,lcl 点评:由A,B,C,D的任意性,可见本题仅用几何方 立,故(B)不成立; 2,则向量r=a+b+c的模等于 法去证不太容易,将其转化为向量的运算来处理,使问 对于选项(D),取(a+e)⊥(a-e),如图4-3所分析:根据平行四边形法则先作出a+b,但由于向 题变得简捷、明 示,易知t在(0,1)内取值时,1a-te<la-e,故量c的方向没有确定,因此作向量a+b与c的和向量 例15已知ax2+bx+c=0是关于x的一元二次 (D)不成立 时,存在两种位置关系,需要分两种情况处理 解:根据题意在平面内作岀向量a+b,根据条件知 方程,其中a,b,c是非零向量,且向量a和b不共线,则 综上所述知,(C)成立 c与a的夹角为60°,由此可作出如图5与图6两种图该方程 (A)至少有一根 B)至多有一根 (C)有两个不等的根 (D)有无数个互不相同的根 分析:题设给出关于x的一元二次方程ax2+bx+c 图4-2 图4-3 =0,系数是向量,无法利用常规的解一元二次方程的 方法去求解,所以需要转化,把 次方程转化为相 三分类讨论思想 应的向量的线性问题,根据平面向量基本定理加以分 在图5中,a+b与c同向且模相等 析求解 分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统 所以r=a+b+c=2c, 解:由ax2+bx+c=0可得 研究时,如条件、结论不明确,或题意中含参数,或者图 所以r|=2|c|=2×2=4 而a,b,c是非零向量且向量a和b不共线,那么根 形不确定,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然 在图6中,a+b与c模相等 据平面向量基本定理可知,如果a,b,c共面,那么存在 后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各 以它们为邻边的平行四边形为菱形, 类结果得到整个问题的解答 所以 b 惟一的实数对A,,使得c=Aa+b 分类讨论的好处:一方面,可将复杂的问题分解成 所以|r|=2|a|=2×1=2. 当A=-12时,关于x的一元二次方程有一根 若干个简单的问题,另一方面,恰当的分类可避免丢值 漏解,从而提高全面考虑问题的能力,提高周密严谨的 四、化归与转化思想 当A≠-12时,关于x的一元二次方程无实根 数学教养 化归与转化思想是指在研究、解决数学问题时采 故关于x的一元二次方程至多只有一根.选择 例10已知函数f(x)=2ain2x-23 asinxcosr+b用某种手段,将问题通过变换使之转化,进而使问题得(B) 例16已知平行四边形ABCD,E,F分别是DC和AB 的定义域为0,,值域为[-5,4],求a和b. 到解决的一种解题策略其本质含义是:在解决一个间的中点,求证:AE∥FC 题时人们的眼光并不落在结论上,而是去寻觅、追溯一 分析:首先利用二倍角公式将解析式转化为y= 分析:本题是一道平面几何问题,可以利用平面几 些熟知的结果,由此将问题化繁为简、化大为小、各个 何的知识进行解答.但我们用平面向量的知识来解答 画数的有界性确