2020年湖南省长沙市长郡外国语小升初数学试卷人教版(含答案）

2020年湖南省长沙市长郡外国语小升初数学试卷 一．填空题（每小题3分，共30分） 1．（3分）一幅地图，图上1厘米表示实际距离500千米，这幅地图的比例尺是　 　. 2．（3分）一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米和3厘米，这个长方体的表面积为　 　平方厘米． 3．（3分）为了搬书方便，某学生想用大、小两种纸箱搬运，大的能装11套书，小的能装6套书，要把91套书刚好装入纸箱内，应需要大纸箱　 　个． 4．（3分）王宏买了3年期的国家建设债券1000元，如果年利率为2.9%，到期时他可获本金和利息共　 　元． 5．（3分）等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之比是　 　． 6．（3分）把含盐10%的盐水100克配置成浓度为20%的盐水需要加　 　克盐． 7．（3分）一件衣服按照30%的利润率出售，后来又打八折，现在的售价是520元，那么这件衣服的成本价是　 　。 8．（3分）甲乙两地相距600千米，小王开车从甲地到乙地，办完事后原路返回．已知去时每小时行40千米，返回时每小时行60千米．汽车来回的平均速度是每小时　 　千米． 9．（3分）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为：10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是2：3，那么阴影部分的面积是　 　平方厘米． 10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△APH＝2，则S四边形PGCD＝　 　 二．解答题（共28分） 11．（8分）计算。 （1） （2） 12．（8分）解方程。 （1） （2） 13．（12分）求面积。 （1）如图1在直角梯形ABCD中，三角形ABE和三角形CDE都是等腰直角三角形，且BC＝20厘米，那么直角梯形ABCD的面积是多少？ （2）求图2影部分的面积（π为3.14）. 三．应用题（14～17每小题8分，18题10分，共42分） 14．（8分）甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距　 　千米． 15．（8分）体育用品商店以每个40元的价格购进一批足球，以每个50元的价格卖出，当卖掉这批足球的90%时，不仅收回了成本，还获利800元，这批足球一共多少个？ 16．（8分）有n个同样大小的正方体，将它们摞成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少144平方厘米，那么n是多少？（写出简要解答步骤） 17．（8分）一个装满水的水池有一个进水管和三个口径相同的出水管，如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟能把水池排完；如果同时打开进水管和2个出水管，则10分钟把水池的水排完；关闭进水管且同时打开3个出水管，需要多少分钟才能排完水池的水？ 18．（10分）如下面图1那样，在用塑料制的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如下面图2． 现在，如图1那样，把这个筒的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．按上面讲的条件回答下列问题： （1）把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？ （2）把C面（直角三角形的面）作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？ 2020年湖南省长沙市长郡外国语小升初数学试卷 参考答案与试题解析 一．填空题（每小题3分，共30分） 1．（3分）一幅地图，图上1厘米表示实际距离500千米，这幅地图的比例尺是　1：50000000　. 【分析】根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离：实际距离即可写出这幅地图的比例尺。 【解答】解：500千米＝50000000厘米 1厘米：50000000＝1：50000000 答：这幅地图的比例尺是1：50000000。 故答案为：1：50000000。 【点评】此题主要是考查数值比例尺的意义。注意，把比的前、后项单位一统一，通常比的前项写成“1”。 2．（3分）一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米和3厘米，这个长方体的表面积为　94　平方厘米． 【分析】长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，由此代入数据计算即可． 【解答】解：（5×4+5×3+4×3）×2 ＝（20+15+12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 答：这个长方体的表面积为 94平方厘米． 故答案为：94． 【点评】本题考查了长方体表面积公式的灵活运用． 3．（3分）为了搬书方便，某学生想用大、小两种纸箱搬运，大的能装11套书，小的能装6套书，要把91套书刚好装入纸箱内，应需要大纸箱　5　个． 【分析】根据大的能装11套书，小的能装6套书，要把91套书刚好装入纸箱内，列出等式：大纸箱的个数×11+小纸箱的个数×6＝91，因为纸箱数都是整数，把小纸箱的个数从1开始代入，求出大纸箱的个数，直到大纸箱的个数为整数为止，即可得解． 【解答】解：大纸箱数×11+小纸箱数×6＝91 大纸箱数＝ 当小纸箱数＝6时， 大纸箱数＝＝＝5 答：应需要大纸箱 5个． 故答案为：5． 【点评】解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系：大纸箱数×11+小纸箱数×6＝91．合理分析得出结论． 4．（3分）王宏买了3年期的国家建设债券1000元，如果年利率为2.9%，到期时他可获本金和利息共　1087　元． 【分析】利息＝本金×年利率×时间，由此代入数据计算即可求出利息；最后拿到的钱是利息+本金，由此解决问题． 【解答】解：1000×2.9%×3， ＝29×3， ＝87（元）； 1000+87＝1087（元）； 答：到期时他可获本金和利息共1087元． 故答案为：1087． 【点评】这种类型属于利息问题，有固定的计算方法，利息＝本金×利率×时间（注意时间和利率的对应），本息＝本金+利息，找清数据与问题，代入公式计算即可． 5．（3分）等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之比是　3：1　． 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高；由此即可得出答案． 【解答】解：令圆柱和圆锥的底面积为S，高为H，则： 圆柱的体积：圆锥的体积＝SH：SH＝3：1． 答：它们的体积之比是3：1． 故答案为：3：1． 【点评】等底等高的圆柱是圆锥的体积的3倍，这是在这部分内容的计算中常用的结论． 6．（3分）把含盐10%的盐水100克配置成浓度为20%的盐水需要加　12.5　克盐． 【分析】10%是指浓度是10%，是盐占盐水总重量的10%，则水占盐水的1﹣10%，所以水是100×（1﹣10%）克，这一过程中，水的重量不变，加盐后水占盐水的1﹣20%，根据分数除法的意义求出加盐后盐水的总重后，即得加盐多少克．加盐：加盐后盐水总重100×（1﹣10%）÷（1﹣20%）＝112.5（克），需加盐：112.5﹣100＝12.5（克）． 【解答】解：加盐后盐水总重： 100×（1﹣10%）÷（1﹣20%） ＝100×90%÷80% ＝90÷80% ＝112.5（克） 需加盐：112.5﹣100＝12.5（克） 答：需加盐12.5克． 故答案为：12.5． 【点评】此题考查了学生灵活解答浓度问题的能力，关键是理解溶液与溶质之间的关系． 7．（3分）一件衣服按照30%的利润率出售，后来又打八折，现在的售价是520元，那么这件衣服的成本价是　500元　。 【分析】按照30%的利润率出售，是指原售价是成本价的（1+30%），再把原售价看成单位“1”，八折后的价格是原售价的80%，它对应的数量是520元，根据分数除法的意义，用520元除以80%即可求出原来的售价；再把成本价看成单位“1”，它的（1+30%）就是原售价，再根据分数除法的意义求出成本价。 【解答】解：520÷80%＝650（元） 650÷（1+30%） ＝650÷130% ＝500（元） 答：这件衣服的成本价是500元。 故答案为：500元。 【点评】解决本题关键是找出两个单位“1”的不同，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法求解。 8．（3分）甲乙两地相距600千米，小王开车从甲地到乙地，办完事后原路返回．已知去时每小时行40千米，返回时每小时行60千米．汽车来回的平均速度是每小时　48　千米． 【分析】依据时间＝路程÷速度，分别求出小王从甲地到乙地和从乙地到甲地需要的时间，再根据平均速度＝往返的路程÷往返需要的时间解答． 【解答】解：（600×2）÷（600÷40+600÷60） ＝1200÷（15+10） ＝1200÷25 ＝48（千米） 答：这辆汽车往返两地的平均速度是48千米． 故答案为：48． 【点评】解决本题的关键是明确：往返的路程＝600×2，平均速度＝往返的路程÷往返需要的时间． 9．（3分）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为：10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是2：3，那么阴影部分的面积是　23　平方厘米． 【分析】根据题意和图形可知：已知的2个三角形高的和是梯形的高，2个三角形底的和是梯形上下底的和．而梯形和三角形的面积都和底高有关系，所以设出其中一个三角形的底和高，可以变相求出梯形的面积，再减去已知的2个三角形的面积就可以求出阴影的面积． 【解答】解：设上底长为2a，下底长为3a，三角形AOD的高为h，则三角形BCO的高为x，则x是： （2a×h）：（3a×x）＝10：12 解之得：x＝h， 那么梯形的高为：h+h＝h， 又因为三角形AOD面积为10，可知：ah＝10， 梯形面积为：（2a+3a）×h÷2 ＝ah ＝×10 ＝45 故阴影面积为：45﹣（10+12）＝23； 答：阴影部分的面积是23． 故答案为：23． 【点评】本题图形提示阴影的面积＝梯形的面积﹣2个已知三角形的面积，还是运用组合图形面积求法的思想． 10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△APH＝2，则S四边形PGCD＝　8　 【分析】根据平行四边形的定义可以得到四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的面积公式计算即可。 【解答】解：因为EF∥BC，GH∥AB， 所以四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形， ∵S△APH＝2，CG＝2BG， ∴S△DPH＝2S△APH＝4， ∴平行四边形HPFD的面积＝8， ∴平行四边形PGCF的面积＝×平行四边形HPFD的面积＝4， ∴S四边形PGCD＝4+4＝8， 故答案为：8。 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形的面积公计算，掌握平行四边形的性质定理是解题的关键。 二．解答题（共28分） 11．（8分）计算。 （1） （2） 【分析】（1）后5个分数，分母写成两个连续整数的乘积，分母写成这两个数的和，裂项计算即可； （2）可以发现每个分数的分子等于分母两个平方的差，然后裂项计算。 【解答】解：（1） ＝++++++ ＝+++++++++++ ＝（++）+（+）+（++）+（+++） ＝1+1+1+1 ＝4 （2） ＝+++……+ ＝1﹣+﹣+﹣+……+﹣ ＝1﹣ ＝ 【点评】本题主要考查了分数的巧算，掌握分数的裂项技巧是本题解题的关键。 12．（8分）解方程。 （1） （2） 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时乘上6，把方程化为12﹣2×（2x+1）＝3×（1+x），去掉括号，把方程化为10﹣4x＝3x+3，方程的两边同时加上4x，把方程化为7x+3＝10，方程的两边同时减去3，然后方程的两边同时除以7求解； （2）根据等式的性质，方程的两边同时乘上20，把方程化为4×（4x﹣6）＝5×（3x﹣1），去掉括号，把方程化为16x﹣24＝15x﹣5，方程的两边同时减去15x，把方程化为x﹣24＝﹣5，然后方程的两边同时加上24求解。 【解答】解：（1） （2﹣）×6＝×6 12﹣2×（2x+1）＝3×（1+x） 10﹣4x＝3x+3 10﹣4x+4x＝3x+3+4x 7x+3＝10 7x+3﹣3＝10﹣3 7x＝7 7x÷7＝7÷7 x＝1 （2） ×20＝×20 4×（4x﹣6）＝5×（3x﹣1） 16x﹣24＝15x﹣5 16x﹣24﹣15x＝15x﹣5﹣15x x﹣24＝﹣5 x﹣24+24＝﹣5+24 x＝19 【点评】本题考查解方程，解题的关键是掌握等式的性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立。 13．（12分）求面积。 （1）如图1在直角梯形ABCD中，三角形ABE和三角形CDE都是等腰直角三角形，且BC＝20厘米，那么直角梯形ABCD的面积是多少？ （2）求图2影部分的面积（π为3.14）. 【分析】（1）根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，梯形ABCD的面积为：（AB+CD）×（AB+CD）÷2＝20×20÷2＝200（平方厘米）。 （2）根据三角形的面积公式计算半圆的直径：8×6÷4.8＝10（厘米），阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形的面积，把数代入计算即可。 【解答】解：（1）20×20÷2＝200（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是200平方厘米。 （2）×3.14×（8×6÷4.8÷2）2﹣8×6÷2 ＝×3.14×25﹣24 ＝39.25﹣24 ＝15.25 答：阴影部分的面积是15.25。 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，再计算。 三．应用题（14～17每小题8分，18题10分，共42分） 14．（8分）甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距　50　千米． 【分析】由甲速度：乙速度＝30：20＝3：2 可知，第一次相遇时甲走了全程的，乙为；从第一次相遇到第二次相遇，两人又共走了两个全程，则从第一次相遇的地点到第二次相遇，甲又行了2×＝，即到起点还有﹣1＝，所以第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是相差全程的﹣＝，故A、B两地相距20÷＝50（千米）． 【解答】解：20÷[﹣（﹣1）] ＝20÷[﹣]， ＝20×， ＝50（千米）； 故答案为：50． 【点评】在相遇问题中，此类到达目的地又返回第二次相遇的，都共行了全程的三倍． 15．（8分）体育用品商店以每个40元的价格购进一批足球，以每个50元的价格卖出，当卖掉这批足球的90%时，不仅收回了成本，还获利800元，这批足球一共多少个？ 【分析】设购进足球x个，当卖出90%时，收入为50×90%x，这批足球的购进价格为40x，此时获利800元，由此列出方程为：50×90%x﹣40x＝800，解方程即可． 【解答】解：设购进足球x个， 根据题意得： 50×90%x﹣40x＝800 45x﹣40x＝800 5x＝800 x＝160 答：这批足球一共160个． 【点评】此题运用了方程解法，设出未知数，根据关系式：收入部分﹣购进价格＝获利部分，列式解答． 16．（8分）有n个同样大小的正方体，将它们摞成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少144平方厘米，那么n是多少？（写出简要解答步骤） 【分析】根据题干，表面积减少的144平方厘米厘，是原来正方体的4个面的面积之和，所以原来正方体一个面的面积是：144÷4＝36平方厘米，n个同样大小的正方体摞在一起所组成的长方体的表面积是由4n+2个正方体的面的面积之和，由此可得关于n的一元一次方程：36×（4n+2）＝3096，解这个方程即可解决问题． 【解答】解：正方体一个面的面积是：144÷4＝36（平方厘米），根据长方体的表面积可得： 36×（4n+2）＝3096， 144n+72＝3096， 144n＝3024， n＝21， 答：n是21． 【点评】此题关键是根据正方体拼组长方体的特点，得出拿走一个正方体后，长方体的表面积是减少了4个正方体的面的面积，且n个正方体摞在一起的表面积是4n+2个正方体的面的面积之和． 17．（8分）一个装满水的水池有一个进水管和三个口径相同的出水管，如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟能把水池排完；如果同时打开进水管和2个出水管，则10分钟把水池的水排完；关闭进水管且同时打开3个出水管，需要多少分钟才能排完水池的水？ 【分析】本题所给条件中只给出了每次所开进水阀、出水阀的数量及排完水所需时间，没有给出进水、出水具体的数量，所以可设水池容量为A，每个排水阀每分钟排水量为x，进水阀每分钟进水量为y，两次排水量是一样的为A，由此可得等量关系式：（x﹣y）×30＝（2x﹣y）×10，由此等量关系式求出一个进水阀与一个出水阀进水量与出水量的比之后，再据已知条件求出同时打开三个排水阀，需多少分钟才能排完水池的水。 【解答】解：设水池容量为A，每个排水阀每分钟排水量为x，进水阀每分钟进水量为y，则得： （x﹣y）×30＝（2x﹣y）×10 30x﹣30y＝20x﹣10y， 10x＝20y， x＝2y； 于是A＝（x﹣y）×30＝（2y﹣y）×30＝30y； 30y÷3x＝30y÷6y＝5（分钟）. 答：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需5分钟才能排完水池的水。 【点评】根据所开进水阀、出水阀的数量，及排完水所需要的时间，求出一个进水阀和出水阀进水量与出水量的比，然后就好解答了。 18．（10分）如下面图1那样，在用塑料制的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如下面图2． 现在，如图1那样，把这个筒的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．按上面讲的条件回答下列问题： （1）把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？ （2）把C面（直角三角形的面）作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？ 【分析】本题要借助画图来帮助分析，先标出各顶点的字母，借助直角三角形及体积知识求出水的体积（1.5+3）×2÷2×12＝54（cm3）；当把B面作为底面时，因为△YZM与△XYP完全一样．故水深1.5cm；当把C面作为底面时，用体积除以底面积即可． 【解答】解：在图中标上字母如下图所示， 因X是MN的中点，故Y也是MP的中点，△MXY，△MNP都是直角三角形； 利用勾股定理，可求出XY＝1.5cm，水的体积为： （1.5+3）×2÷2×12＝54（cm3）； 当YZ与PN垂直，交NP于Z时，XY＝NZ＝ZP＝1.5cm，XN＝YZ＝2cm； 故三角形XYM与三角形YZP完全一样． （1）当B作底面时，侧面PMN如下图所示， 因为△YZM与△XYP完全一样．故水深1.5cm． （2）因高＝体积÷底面积， 所以△NMP面积：3×4÷2＝6（cm2）； 高为：54÷6＝9（cm）． 答：把B面作为底面，水面高1.5厘米；把C面作为底面，水面高是9厘米． 【点评】解答此类题目要画出几何图形帮助分析，找出其中的相关数据． 第1页（共3页） $