第12讲 实际问题与二次函数-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 实际问题与二次函数 【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 【要点梳理】 要点一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 要点二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题】 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值 1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销 量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x． (1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少? 【思路点拨】 (1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式； (2)利用配方法求售价及最大销售利润. 【答案与解析】 (1)∵ 每件商品利润为(x-30)元． ∴ 销售m件商品利润为m(x-30)元， 又∵ m＝162-3x， ∴ 每天利润y＝(162-3x)(x-30)． 即y＝-3x2+252x-4860． (2)∵ y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432， 又∵ a＝-3＜0，∴ 当x＝42时，＝432(元)． 答：(1)函数关系式为y＝-3x2+252x-4860；(2)每件商品售价42元时，可获得最大利润， 每天最大利润是432元． 【点评】1．读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键； 2．在实际问题中遇到最大(小)值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解． 举一反三： 【变式】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且时，；时，． （1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？ （2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围． 【答案】 （1）据题意列，解得 ∴， ∴W === 又∵60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87，则x=87时获利最多 将x=87代入，得W =－（87-90）2+900=891元 . （2），即 或（舍） 则，但 ∴ 答：略. 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值 1. 某水产品