第10讲 立体几何（3）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—立体几何（3） 一、基础知识 平行、垂直、空间角、距离 二、典型例题 1.已知二面角ɑ -l - β为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为___________. 2.已知二面角ɑ -l - β为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25°的直线条数为___________. 3.已知菱形ABCD中，AB=2，，沿对角线BD将折起，使二面角为120°，则点A到所在平面的距离等于___________. 4.正四棱锥P - ABCD中AB=3，且侧面PAD与侧面PCD所成二面角大小为. （1） 求证：平面PAD⊥平面PBC； （2） 判断该四棱锥是否存在外接球，若存在，求出该四棱锥外接球的体积；若不存在，请说明理由. 5.在正三棱锥P - ABC中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．如果半球的半径等于1，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于________． 6.一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球．若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R=___________. 7.在三棱锥S - ABC中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8，则三棱锥S - ABC体积的最大值为___________. 8.在半径为R的球的所有外切圆锥中，全面积最小的圆锥的全面积是___________. 9.在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论. $ 高一数学培优课—立体几何（3） 一、基础知识 平行、垂直、空间角、距离 二、典型例题 1.已知二面角ɑ -l - β为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为___________. 解：当P，Q还有过这两点向两个平面的交线在垂线时的垂足在同一个平面上时，即△POQ是二面角的平面角时，PQ之间的距离最小，在这里有两个直角三角形，利用勾股定理可以做出Q在平面a上的射影，刚好落在P点， 因此PQ等于Q到α的距离为 2.已知二面角ɑ -l - β为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25°的直线条数为___________. 解： 二面角大小为50°，则两平面的法向量所在直线所成角为50°，则与两平面所成角都是25°的直线，即与两法向量所在直线所成角都是65°的直线，如图。 PA，PB是两法向量所在直线，α为两直线确定的平面，PC为所求直线，D为点C 在平面的射影(若直线在平面α内，则D即为C)，由三余弦定理， 3.已知菱形ABCD中，AB=2，，沿对角线BD将折起，使二面角为120°，则点A到所在平面的距离等于___________. 解： 4.正四棱锥P - ABCD中AB=3，且侧面PAD与侧面PCD所成二面角大小为. （1） 求证：平面PAD⊥平面PBC； （2） 判断该四棱锥是否存在外接球，若存在，求出该四棱锥外接球的体积；若不存在，请说明理由. 解： 5.在正三棱锥P - ABC中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．如果半球的半径等于1，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于________． 解： 6.一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球．若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R=___________. 解： 7.在三棱锥S - ABC中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8，则三棱锥S - ABC体积的最大值为___________. 解： 8.在半径为R的球的所有外切圆锥中，全面积最小的圆锥的全面积是___________. 解： 9.在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论. 解： $