第16讲 幂的运算-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 幂的运算 【要点梳理】 要点一、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点四、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】 类型一、同底数幂的乘法性质 1、计算： （1）；（2）； （3）． 【答案与解析】 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算： （1）； （2）（为正整数）； （3）（为正整数）． 【答案】 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 2、已知，求的值． 【思路点拨】同底数幂乘法的逆用： 【答案与解析】 解：由得． ∴ ． 【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：． 1、计算： (1)； (2) ． 【答案与解析】 解：（1）． （2）． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式． （2）在幂的运算中，经常用到以下变形： ． 类型二、幂的乘方法则 3、计算： （1）；（2）；（3）． 【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是． 【答案与解析】 解：（1）． （2）． （3）． 【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式. 4、已知，求的值． 【答案与解析】 解：∵ ，∴ ． 【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三： 【变式1】已知，．求的值． 【答案】 解：． 【变式2】已知，，求的值． 【答案】 解：因为, . 所以. 2、计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案与解析】 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式． 3、已知，，求的值． 【思路点拨】由于已知的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把变成，再代入计算. 【答案与解析】 解：因为, . 所以. 【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知，则＝ ． 【答案】－5； 提示：原式　 　　　　 ∵∴ 原式＝＝－5. 类型三、积的乘方法则 5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因： （1）；