第14讲 等边三角形-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 等边三角形 【要点梳理】 要点一、等边三角形 等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． 要点二、等边三角形的性质 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 要点四、含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、等边三角形 1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 【思路点拨】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC． 【答案与解析】 解：（1）△ODE是等边三角形， 其理由是：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60° ∴△ODE是等边三角形； （2）答：BD＝DE＝EC， 其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝∠OBD＝30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠ABO＝30°， ∴∠DBO＝∠DOB， ∴DB＝DO， 同理，EC＝EO， ∵DE＝OD＝OE， ∴BD＝DE＝EC． 【总结升华】本题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解和应用. 举一反三： 【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状. 【答案】 解： ∵PE⊥AB，∠B＝60°， 因此直角三角形PEB中，BE＝BP＝BC＝PC， ∴∠BPE＝30°， ∵∠EPF＝60°， ∴FP⊥BC， ∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°， ∴△BEP≌△CPF， ∴PE＝PF， ∵∠EPF＝60°， ∴△EPF是等边三角形． 2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，，AD＝CE，求∠BPD的度数. 【答案与解析】 证明：在中，AB＝AC，∠ABC＝60° 　∴为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形） 　　　 ∴AC＝BC，∠A＝∠ECB＝60° 在和中 ≌（SAS） ∴（全等三角形对应角相等） （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） ∴ ∴∠DPB＝60°. 【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决. 3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小； （2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 【思路点拨】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而得到∠AEB的值. 【答案与解析】 证明：（1）∵O是AD的中点， ∴AO＝DO 又∵等边△AOB和等边△COD ∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60° ∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30° ∴∠AEB＝∠BDO ＋∠CAO