第10讲 《全等三角形》全章复习与巩固-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 全等三角形全章复习与巩固 【知识网络】 【要点梳理】 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 要点一、全等三角形的判定与性质 要点二、全等三角形的证明思路 要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【典型例题】 类型一、全等三角形的性质和判定 1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC． (1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； 　　(2)证明：DC⊥BE . 　　 【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直. 【答案与解析】 解：（1）△ABE≌△ACD 　 　证明：∠BAC＝∠EAD＝90° 　　　　　 ∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE 　　　　　 即 ∠BAE＝∠CAD 　　　　　 又AB＝AC，AE＝AD， 　　　　　 △ABE≌△ACD（SAS） 　　（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA, 　　　　 又∠COE＝∠AOD 　　　　 ∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90° 　　　　 则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°， 　　　　 所以DC⊥BE. 【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE. 举一反三： 【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE. 【答案】 证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90° ∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC. 在△DAB与△EAC中， ∴△DAB≌△EAC （ASA） ∴BD＝C